Proposición 13

En toda hipérbola la diferencia de los cuadrados de dos diámetros conjugados cualesquiera es igual a la diferencia de los cuadrados de los ejes.

Dada la hipérbola de ejes AC y QR , sean BK y FG dos diámetros conjugados y AN, CO las dos rectas homólogas . Entonces $Q R^{2} = A C \cdot l a d o r e c t o_{A C}$ [Prop. I.16], luego $\frac{A C^{2}}{Q R^{2}} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ y $\frac{N C}{A N} = \frac{A O}{C O} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ [Prop. VII.6], entonces $\frac{A C^{2}}{Q R^{2}} = \frac{N C}{A N} = \frac{N C}{C O}$ , de donde $\frac{A C^{2}}{A C^{2} - Q R^{2}} = \frac{N C}{N C - C O} = \frac{N C}{N O}$ . Por otro lado, $\frac{B K^{2}}{F G^{2}} = \frac{M O}{M N}$ [Prop. VII.6] , de donde $\frac{B K^{2}}{B K^{2} - F G^{2}} = \frac{M O}{M O - M N} = \frac{M O}{N O}$ , luego, ya que $\frac{A C^{2}}{B K^{2}} = \frac{N C}{M O}$ [Prop. VII.8], entonces $\frac{A C^{2}}{B K^{2} - F G^{2}} = \frac{N C}{N O}$ . Por tanto, $\frac{A C^{2}}{A C^{2} - Q R^{2}} = \frac{A C^{2}}{B K^{2} - F G^{2}}$ , de donde $A C^{2} - Q R^{2} = B K^{2} - F G^{2}$ .

Q. E. D.