Si el cuadrado del eje mayor de una elipse es mayor que la mitad del cuadrado de la suma de dicho eje y su lado recto, haya cada lado del eje un diámetro cuyo cuadrado equivale a la mitad del de la suma de este diámetro y su lado recto; la suma de los cuadrados de estas dos magnitudes es menor que la de las análogas respecto de cualquier otro diámetro trazado en el mismo cuadrante de la elipse y esta última suma crece a medida que el diámetro se aleja del eje.

Describamos una figura idéntica a la de la proposición anterior. Se tiene \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) y ya que \(\rm CN = AO\) y \(\rm NA = OC\), se tiene \(\rm \dfrac{AO}{AO+OC} = \dfrac{AO}{CN+OC} = \dfrac{AO}{NO} = \dfrac{AC}{AC+lado recto_{AC}}\), de donde \(\rm \dfrac{AO^2}{NO^2} = \dfrac{AC^2}{(AC+lado recto_{AC})^2}\). Ya que, por hipótesis, \(\rm AC^2 > \frac{1}{2}(AC+lado recto_{AC})^2\), entonces \(\rm 2AO^2 > NO^2\). Sea \(\rm MO < AO\), de manera que \(\rm 2MO^2 = NO^2\), y tracemos desde el punto M, perpendicular al eje, la recta LM que corta a la sección en el punto L. Tracemos la recta de unión CL, y tracemos, paralelamente a esta recta, el diámetro KB de la sección. Ya que \(\rm \dfrac{BK}{lado recto_{BK}} = \dfrac{MO}{MN}\), entonces \(\rm \dfrac{BK}{BK+lado recto_{BK}} = \dfrac{MO}{MO+MN} = \dfrac{MO}{NO}\), de donde \(\rm \dfrac{BK^2}{(BK+lado recto_{BK})^2} = \dfrac{MO^2}{MN^2}\), luego \(\rm BK^2 = \frac{1}{2}(BK+lado recto_{BK})^2\).

Tracemos ahora diámetros DE, IT entre los puntos A y B; tracemos, por el punto C, las rectas CP, CY paralelas a estos diámetros, y tracemos las rectas PU, YQ perpendiculares al eje. Entonces, se tiene \(\rm 2MO^2=NO^2\) y como \(\rm 2OH = NO\), entonces \(\rm 2NO\cdot OH = NO^2\), de donde \(\rm NO\cdot OH = MO^2\). Por tanto \(\rm \dfrac{NO}{MO} = \dfrac{MO}{OH}\), de donde \(\rm \dfrac{NO-MO}{MO-OH} = \dfrac{MN}{MH} = \dfrac{NO}{MO}\), luego \(\rm NO\cdot MH = MN\cdot MO\). Ya que \(\rm NU < MN\), se tiene \(\rm NH\cdot MH > NU\cdot MO\), de donde \(\rm 2 NO\cdot MH > 2NU\cdot MO\), luego \(\rm 4HO\cdot MH > 2 NU\cdot MO\). Por tanto \(\rm 4HO\cdot MH+2MU\cdot MO > 2 NU\cdot MO+2MU\cdot MO\), de donde \(\rm 4HO\cdot MH+2MU\cdot MO > 2 MN\cdot MO\), luego \(\rm 4HO\cdot MH+2MU\cdot MO+4MH^2 > 2 MN\cdot MO+4MH^2\). Por tanto \(\rm MH(HO+MH)+2MU\cdot MO > 2MN(MN+2MH)+4MH^2\), de donde \(\rm 4MH\cdot MO+2MU\cdot MO > MN^2+4MN\cdot MH+4MH^2\), luego \(\rm 2(MU+2MH)MO > 2(MN^2+2MN\cdot MH+MH^2+MH^2)\). Por tanto \(\rm 2(MU+MH+MH)MO > (MN+MH)^2+2MH^2\), de donde \(\rm 2(HU+MH)MO > 2NH^2+2MH^2-2NH\cdot MH+2NH\cdot MH\), luego \(\rm 2(HU+MH)MO > (NH-MH)^2+(NH+MH)^2\). Por tanto \(\rm 2(HU+MH)MO > MN^2+MO^2\). En consecuencia, \(\rm \dfrac{2(HU+MH)MU}{2(HU+MH)MO} = \dfrac{MU}{MO} < \dfrac{2(HU+MH)MU}{MN^2+MO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{MU+MO}{MO} < \dfrac{2(HU+MH)MU+MN^2+MO^2}{MN^2+MO^2}\). Ya que \(\rm 2(HU+MH)MU+MN^2+MO^2\)\(\rm = 2(MU+MO-MN)MU+MN^2+MO^2\)\(\rm = 2MU^2+2MU\cdot MO-2MU\cdot MN+MN^2+MO^2 \)\(\rm = (MN-MU)^2+(MO+MU)^2 = NU^2+UO^2\), entonces \(\rm \dfrac{UO}{MO} < \dfrac{NU^2+UO^2}{MN^2+MO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot UO}{CN\cdot MO} < \dfrac{NU^2+UO^2}{MN^2+MO^2}\), luego \(\rm \dfrac{CN\cdot UO}{NU^2+UO^2} < \dfrac{ CN\cdot MO}{MN^2+MO^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MN^2+MO^2} = \dfrac{AC^2}{KB^2+lado recto_{KB}^2}\) y \(\rm \dfrac{CN\cdot UO}{NU^2+UO^2} = \dfrac{AC^2}{DE^2+lado recto_{DE}^2}\) [Prop. VII.19], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{KB^2+lado recto_{KB}^2} > \dfrac{AC^2}{DE^2+lado recto_{DE}^2}\), luego \(\rm KB^2+lado recto_{KB}^2 < DE^2+lado recto_{DE}^2\).

Retomando la relación \(\rm NO\cdot MH = MN\cdot MO\), como \(\rm UH > MH\) y \(\rm MN\cdot MO > NQ\cdot UO\), se tiene \(\rm 2NO\cdot UH > 2NQ\cdot UO\), y los mismos desarrollos conducirán a la relación \(\rm DE^2+lado recto_{DE}^2 < IT^2+lado recto_{IT}^2\).

Ya que \(\rm QH > MH\) y \(\rm MN\cdot MO > NA\cdot QO\), la misma relción \(\rm NO\cdot MH = MN\cdot MO\) da \(\rm NO\cdot QH > NA\cdot QO\) que conducirá a la relación \(\rm \dfrac{AO}{OQ} > \dfrac{NA^2+AO^2}{NQ^2+QO^2}\), de donde, por [Prop. VII.19], \(\rm IT^2+lado recto_{IT}^2 < AC^2+lado recto_{AC}^2\).

Ahora, tracemos en los mismos cuadrantes de la elipse, otros diámetros FG, ZJ más alejados del eje mayor que el diámetro KB; tracemos, por del punto C, las rectas CX, CS paralelas a estos diámetros, y tracemos las rectas XR, SV perpendiculares al eje. Entonces, razonando como antes, supongamos, que los puntos R, V ambos caen entre los puntos H y M, o que cualquiera de ellos cae en el centro y el otro entre los puntos H y M, o entre los puntos H y C, o, finalmente, que estos puntos están ambos situados entre los puntos H y C, será evidente que \(\rm KB^2+lado recto_{KB}^2 < FG^2+lado recto_{FG}^2 < ZJ^2+lado recto_{ZJ}^2\).

En consecuencia la suma de los cuadrados de los lados de la figura del diámetro KB, diámetro cuyo cuadrado es la mitad del cuadrado de la suma de los lados de su figura, es menor que la suma de los cuadrados de los lados de la figura de cualquier otro diámetro trazado en los cuadrantes AA' y CC' de la elipse, y la suma de los cuadrados de los lados de la figura de un diámetro que, trazado en el mismo cuadrante, está más cerca a cada lado de este primer diámetro, es menor que la suma de los cuadrados de los lados de la figura de un diámetro que está más alejado. También resulta que la suma de los cuadrados de los lados de la figura del eje menor A'C' es mayor que la suma de los cuadrados de los lados de la figura de todo otro diámetro de la sección.

Q. E. D.