Haciendo las mismas construcciones que en las dos proposiciones anteriores, digo que \(\rm \dfrac{AC^2}{(BK-FG)^2} = \dfrac{CN\cdot OM}{(OM-\sqrt{MN\cdot OM})^2}\).

En efecto, \(\rm \dfrac{BK}{FG} = \dfrac{MO}{OI}\) [Prop. VII.8], de donde \(\rm \dfrac{BK}{BK-FG} = \dfrac{MO}{MO-OI}\), luego \(\rm \dfrac{BK^2}{(BK-FG)^2} = \dfrac{MO^2}{(MO-OI)^2}\). Como \(\rm \dfrac{AC^2}{B^K2} = \dfrac{CN\cdot MO}{MO^2}\) [Prop. VII.8], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{(BK-FG)^2} = \dfrac{CN\cdot MO}{(MO-OI)^2}\). Ya que, por hipótesis, \(\rm OI^2 = NM\cdot MO\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{(BK-FG)^2} = \dfrac{CN\cdot OM}{(OM-\sqrt{MN\cdot OM})^2}\).

Q. E. D.