Proposición 9

Haciendo las mismas construcciones que en las dos proposiciones anteriores, digo que $\frac{A C^{2}}{(B K - F G)^{2}} = \frac{C N \cdot O M}{(O M - \sqrt{M N \cdot O M})^{2}}$ .

En efecto, $\frac{B K}{F G} = \frac{M O}{O I}$ [Prop. VII.8], de donde $\frac{B K}{B K - F G} = \frac{M O}{M O - O I}$ , luego $\frac{B K^{2}}{(B K - F G)^{2}} = \frac{M O^{2}}{(M O - O I)^{2}}$ . Como $\frac{A C^{2}}{B^{K} 2} = \frac{C N \cdot M O}{M O^{2}}$ [Prop. VII.8], entonces $\frac{A C^{2}}{(B K - F G)^{2}} = \frac{C N \cdot M O}{(M O - O I)^{2}}$ . Ya que, por hipótesis, $O I^{2} = N M \cdot M O$ , entonces $\frac{A C^{2}}{(B K - F G)^{2}} = \frac{C N \cdot O M}{(O M - \sqrt{M N \cdot O M})^{2}}$ .

Q. E. D.