Si
el eje es menor que el tercio de su lado recto, hay a cada lado
del eje un solo diámetro igual al tercio de su lado recto y tal que la suma
de un diámetro y su lado recto es menor que la de cualquier otro diámetro,
del mismo lado que el eje, y el suyo, y disminuye a medida que el
diámetro se aleja del eje.
Retomemos la figura que acompaña a la proposición trigésimo quinta .
y sea ahora \(\rm AC < \frac{1}{3}lado recto_{AC}\); por lo tanto \(\rm AO < \frac{1}{3}AN\), de donde \(\rm AO-\frac{1}{3}AO < \frac{1}{3}NA-\frac{1}{3}AO\),
luego \(\rm 2 AO < NA-AO\). Por tanto \(\rm AO < \frac{1}{2}ON\).
Tomemos \(\rm MO = \frac{1}{2} ON\) ; tracemos la recta de unión CL después de haber trazado la recta ML
perpendicular al eje , y tracemos el diámetro KB de
la sección paralelo a la recta CL . Entonces \(\rm \dfrac{MO}{MN} = \dfrac{BK}{lado recto_{BK}}\). Ya que
\(\rm MO = \frac{1}{2}ON\), entonces \(\rm MO + \frac{1}{2}MO = \frac{1}{2}NO + \frac{1}{2}MO\), luego
\(\rm MO = \frac{1}{3}MN\). Por tanto \(\rm BK = \frac{1}{3}lado recto_{BK}\).
Tracemos diámetros cualesquiera DE,
IT entre los puntos A, B ; tracemos las rectas CX, CP paralelas a
estos diámetros , y tracemos las rectas XU, PQ perpendiculares al eje .
Ya que \(\rm MO = \frac{1}{3}MN\), entonces \(\rm MO +\frac{1}{3}MO = \frac{1}{3}(MN + MO)\), luego
\(\rm MO =\frac{1}{4}(MN+MO)\). Como \(\rm MN+OU < MN+MO\), entonces \(\rm (MN+OU)MO < \frac{1}{4}(MN+MO)^2\),
de donde \(\rm (MN+MO)^2 > 4(MN+OU)MO\), luego \(\rm (MN+MO)^2-4(MN+OU)MU > 4(MN+OU)MO-4(MN+OU)MU \).
Ya que \(\rm (MN+MO)^2-4(MN+OU)MU \)\(\rm = (MN+MO)^2-4(MN+MO-MU)MU \)\(\rm = (MN+MO)^2-4(MN+MO)MU+4MU^2 = (MN+MO-2MU)^2\)\(\rm =
(MN-MU+MO-MU)^2=(NU+OU)^2\), y por otro lado\(\rm 4(MN+OU)MO-4(MN+OU)MU = 4(MN+OU)OU\); por lo tanto
\(\rm (NU+OU)^2>4(MN+OU)OU\). Entonces \(\rm \dfrac{MU}{OU} = \dfrac{4(MN+OU)MU}{4(MN+OU)OU} > \dfrac{4(MN+OU)MU}{(NU+OU)^2}\),
de donde \(\rm \dfrac{MU+OU}{OU} > \dfrac{4(MN+OU)MU+(NU+OU)^2}{(NU+OU)^2}\).
Ya que \(\rm 4(MN+OU)MU+(NU+OU)^2 \)\(\rm= 4(MU+NU+OU)MU+(NU+OU)^2 \)\(\rm = 4(NU+OU)MU+4MU^2+(NU+OU)^2 = (NU+OU+2MU)^2\)\(\rm = (NU+MU+OU+MU)^2 =
(MN+MO)^2\), de donde \(\rm \dfrac{MO}{OU} > \dfrac{(MN+MO)^2}{(NU+OU)^2}\).
Por tanto \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{CN\cdot OU} > \dfrac{(MN+MO)^2}{(NU+OU)^2}\), luego \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{(MN+MO)^2} > \dfrac{CN\cdot OU}{(NU+OU)^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{(MN+MO)^2} = \dfrac{AC^2}{KB+lado recto_{KB}^2}\) y \(\rm \dfrac{CN\cdot OU}{(NU+OU)^2} = \dfrac{AC^2}{DE+lado recto_{DE}^2}\) [Prop. VII.17], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{KB+lado recto_{KB}^2} >\dfrac{AC^2}{DE+lado recto_{DE}^2}\), de donde \(\rm KB+lado recto_{KB} < DE+lado recto_{DE}\).
Por otra parte, ya que \(\rm (NU+UO)^2 > 4(MN+OU)OU\), y como \(\rm OQ < OU\) y \(\rm AU < MN\), entonces \(\rm (NU+UO)^2 > 4(NU+OQ)OQ\) y
se demuestra de manera análoga que \(\rm DE+lado recto_{DE} < IT+lado recto_{IT}\), y ya que
\(\rm (NQ+QO)^2 > 4(NQ+QA)AQ\), se demuestra de manera análoga que \(\rm IT+lado recto_{IT} < AC+lado recto_{AC}\).
Tracemos ahora otros diámetros FG, ZJ más alejados del eje que el diámetro KB ; sean CS, CY rectas paralelas a estos diámetros y tracemos, desde los puntos S, Y, las rectas SR, YV perpendiculares al eje . Entonces \(\rm 4(RN+MO)MO > (MN+MO)^2\), de donde \(\rm 4(RN+MO)MO+4(RN+MO)RM > (MN+MO)^2+4(RN+MO)RM\),
luego \(\rm 4(RN+MO)RO > (NR+RO)^2\).
Finalmente, adoptando el mismo razonamiento anterior, es evidente que \(\rm FG+lado recto_{FG} > BK+lado recto_{BK}\)
Se demuestra, también, que \(\rm ZJ+lado recto_{ZJ} > FG+lado recto_{FG}\), a partir de
que \(\rm 4(VN+RO)RO > (RN+OR)^2 \).
Q. E. D.