Proposición 51

La diferencia de los cuadrados del eje mayor de una elipse y su lado recto es mayor que la de estas dos magnitudes respecto de cualquier diámetro mayor que su lado recto y disminuye a medida que el diámetro se aleja del eje. La diferencia de los cuadrados del eje menor de una elipse y su lado recto es mayor que la de estas dos magnitudes respecto de cualquier diámetro menor que su lado recto y aumenta a medida que el diámetro se aleja del eje.

Sea AC el eje mayor de una elipse ; sea DE el eje menor , y sea IT uno de los diámetros conjugados iguales . Tracemos los diámetros KB, LM entre los puntos A e I ; tracemos las rectas CQ, CX paralelas a estos diámetros ; tracemos las líneas QJ, XU perpendiculares al eje , y que todas las demás construcciones son las mismas. que en la figura de la hipérbola de la última proposición . Digo que $A C^{2} - l a d o r e c t o_{A C}^{2} > K B^{2} - l a d o r e c t o_{K B}^{2} > L M^{2} - l a d o r e c t o_{L M}$ .

En efecto, ya que $H J < A H$ , entonces $H J \cdot H O + A H \cdot H J < A H \cdot H O + A H \cdot H J$ , luego $H J \cdot A O < A H \cdot O J$ . Por tanto $\frac{A O}{O J} < \frac{A H}{H J}$ , de donde $\frac{C N \cdot A O}{C N \cdot O J} < \frac{2 O N \cdot A H}{2 O N \cdot H J}$ . Ya que, $2 O N \cdot A H = 2 (O A + A N) A H = (O A + A N) (A H + O H + A H - O H$ = (OA+AN)(OA+AH-NH) = (OA+AN)(OA-AN) = OA^2-AN^2\), e igualemente $2 O N \cdot H J = H J^{2} - J N^{2}$ , entonces $\frac{C N \cdot A O}{C N \cdot O J} < \frac{O A^{2} - A N^{2}}{O J^{2} - J N^{2}}$ , luego $\frac{C N \cdot A O}{O A^{2} - A N^{2}} < \frac{C N \cdot O J}{O J^{2} - J N^{2}}$ . Ya que $\frac{C N}{A N} = \frac{O A}{O C} = \frac{A C}{l a d o r e c t o_{A C}}$ , se tiene $C N = O A$ y $A N = O C$ , luego $\frac{O A^{2}}{O A^{2} - A N^{2}} = \frac{C N \cdot O A}{O A^{2} - A N^{2}} = \frac{A C^{2}}{A C^{2} - l a d o r e c t o_{A C}^{2}}$ . Ya que $\frac{C N \cdot O J}{} = \frac{O J^{2} - J N^{2}}{K B^{2} - l a d o r e c t o_{K B}^{2}}$ [Prop. VII.20], entonces $\frac{A C^{2}}{A C^{2} - l a d o r e c t o_{A C}^{2}} < K B^{2} - l a d o r e c t o_{K B}^{2}$ , de donde $A C^{2} - l a d o r e c t o_{A C}^{2} > K B^{2} - l a d o r e c t o_{K B}^{2}$ .

Se demuestra de la misma manera que $\frac{C N \cdot O J}{C N \cdot O U} < \frac{O J^{2} - J N^{2}}{O U^{2} - U N^{2}}$ , de donde $\frac{C N \cdot O J}{O J^{2} - J N^{2}} < \frac{C N \cdot O U}{O U^{2} - U N^{2}}$ y de [Prop. VII.20] se deduce que $K B^{2} - l a d o r e c t o_{K B}^{2} > L M^{2} - l a d o r e c t o_{L M}^{2}$ .

Ahora tracemos otros diámetros VY, ZR entre los puntos I y D ; desde el punto C, tracemos las rectas CG, CP paralelas a estos diámetros . y tracemos las rectas GF, PS perpendiculares al eje . Digo que $D E^{2} - l a d o r e c t o_{D E}^{2} > V Y^{2} - l a d o r e c t o_{V Y}^{2} > Z R^{2} - l a d o r e c t o_{Z R}^{2}$ .

En efecto, se tiene $O F > O S$ y $F H < H S$ , de donde $\frac{O F}{O S} > \frac{F H}{H S}$ , luego $\frac{C N \cdot O F}{C N \cdot O S} > \frac{2 N O \cdot F H}{2 N O \cdot H S}$ . Ya que $2 N O \cdot F H = 2 (N F + F O) F H = (N F + F O) (F H + F H + N H - N H = (N F + F O) (N F - F O) = N F^{2} - F O^{2}$ y $2 N O \cdot H S = N S^{2} - S O^{2}$ entonces $\frac{C N \cdot O F}{C N \cdot O S} > \frac{N F^{2} - F O^{2}}{N S^{2} - S O^{2}}$ , de donde $\frac{C N \cdot O F}{N F^{2} - F O^{2}} > \frac{C N \cdot O S}{N S^{2} - S O^{2}}$ , luego siguiendo el procedimiento anterior y por [Prop. VII.20], se tiene $\frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{Z J}^{2} - Z J^{2}} > \frac{A C^{2}}{l a d o r e c t o_{V Y}^{2} - V Y^{2}}$ , de donde $l a d o r e c t o_{V Y}^{2} - V Y^{2} > l a d o r e c t o_{Z J}^{2} - Z J^{2}$ .

Finalmente, ya que $S O > O C$ y $S H < H C$ , se tiene $\frac{S O}{O C} > \frac{S H}{H C}$ , de donde $\frac{C N \cdot S O}{C N \cdot O C} > \frac{2 N O \cdot S H}{2 N O \cdot H C}$ , y continuando con el procedimiento anterior se llega a $l a d o r e c t o_{D E}^{2} - D E^{2} > l a d o r e c t o_{V Y}^{2} - V Y^{2}$ .

Q. E. D.