La diferencia de los cuadrados del eje mayor de una elipse y su lado recto es mayor que la de estas dos magnitudes respecto de cualquier diámetro mayor que su lado recto y disminuye a medida que el diámetro se aleja del eje. La diferencia de los cuadrados del eje menor de una elipse y su lado recto es mayor que la de estas dos magnitudes respecto de cualquier diámetro menor que su lado recto y aumenta a medida que el diámetro se aleja del eje.

Sea AC el eje mayor de una elipse Paso 1; sea DE el eje menor Paso 1, y sea IT uno de los diámetros conjugados iguales Paso 3. Tracemos los diámetros KB, LM entre los puntos A e I Paso 4; tracemos las rectas CQ, CX paralelas a estos diámetros Paso 5; tracemos las líneas QJ, XU perpendiculares al eje Paso 6, y que todas las demás construcciones son las mismas. que en la figura de la hipérbola de la última proposición Paso 7. Digo que \(\rm AC^2-lado recto_{AC}^2 > KB^2-lado recto_{KB}^2 > LM^2-lado recto_{LM}\).

En efecto, ya que \(\rm HJ < AH\), entonces \(\rm HJ\cdot HO+AH\cdot HJ < AH\cdot HO+AH\cdot HJ\), luego \(\rm HJ\cdot AO < AH\cdot OJ\). Por tanto \(\rm \dfrac{AO}{OJ} < \dfrac{AH}{HJ}\), de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot AO}{CN\cdot OJ} < \dfrac{2ON\cdot AH}{2ON\cdot HJ}\). Ya que, \(\rm 2ON\cdot AH = 2(OA+AN)AH = (OA+AN)(AH+OH+AH-OH\) = (OA+AN)(OA+AH-NH) = (OA+AN)(OA-AN) = OA^2-AN^2\), e igualemente \(\rm 2ON\cdot HJ = HJ^2-JN^2\), entonces \(\rm \dfrac{CN\cdot AO}{CN\cdot OJ} < \dfrac{OA^2-AN^2}{OJ^2-JN^2}\), luego \(\rm \dfrac{CN\cdot AO}{OA^2-AN^2} < \dfrac{CN\cdot OJ}{OJ^2-JN^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN}{AN} = \dfrac{OA}{OC} =\dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), se tiene \(\rm CN = OA\) y \(\rm AN = OC\), luego \(\rm \dfrac{OA^2}{OA^2-AN^2} = \dfrac{CN\cdot OA}{OA^2-AN^2} = \dfrac{AC^2}{AC^2-lado recto_{AC}^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{CN\cdot OJ}{} = \dfrac{OJ^2-JN^2}{KB^2-lado recto_{KB}^2}\) [Prop. VII.20], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{AC^2-lado recto_{AC}^2} < {KB^2-lado recto_{KB}^2}\), de donde \(\rm AC^2-lado recto_{AC}^2 > KB^2-lado recto_{KB}^2\).

Se demuestra de la misma manera que \(\rm \dfrac{CN\cdot OJ}{CN\cdot OU} < \dfrac{OJ^2-JN^2}{OU^2-UN^2}\), de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot OJ}{OJ^2-JN^2} < \dfrac{CN\cdot OU}{OU^2-UN^2}\) y de [Prop. VII.20] se deduce que \(\rm KB^2-lado recto_{KB}^2 > LM^2-lado recto_{LM}^2\).

Ahora tracemos otros diámetros VY, ZR entre los puntos I y D Paso 8; desde el punto C, tracemos las rectas CG, CP paralelas a estos diámetros Paso 9. y tracemos las rectas GF, PS perpendiculares al eje Paso 10. Digo que \(\rm DE^2-lado recto_{DE}^2 > VY^2-lado recto_{VY}^2 > ZR^2-lado recto_{ZR}^2\).

En efecto, se tiene \(\rm OF > OS\) y \(\rm FH < HS\), de donde \(\rm \dfrac{OF}{OS} > \dfrac{FH}{HS}\), luego \(\rm \dfrac{CN\cdot OF}{CN\cdot OS} > \dfrac{2NO\cdot FH}{2NO\cdot HS}\). Ya que \(\rm 2NO\cdot FH = 2(NF+FO)FH = (NF+FO)(FH+FH+NH-NH = (NF+FO)(NF-FO) = NF^2 - FO^2\) y \(\rm 2 NO\cdot HS = NS^2-SO^2\) entonces \(\rm \dfrac{CN\cdot OF}{CN\cdot OS} > \dfrac{NF^2-FO^2}{NS^2-SO^2}\), de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot OF}{NF^2-FO^2} > \dfrac{CN\cdot OS}{NS^2-SO^2}\), luego siguiendo el procedimiento anterior y por [Prop. VII.20], se tiene \(\rm \dfrac{AC^2}{lado recto_{ZJ}^2 -ZJ^2} > \dfrac{AC^2}{lado recto_{VY}^2-VY^2}\), de donde \(\rm lado recto_{VY}^2-VY^2 > lado recto_{ZJ}^2 -ZJ^2\).

Finalmente, ya que \(\rm SO > OC\) y \(\rm SH < HC\), se tiene \(\rm \dfrac{SO}{OC} > \dfrac{SH}{HC}\), de donde \(\rm \dfrac{CN\cdot SO}{CN\cdot OC} > \dfrac{2NO\cdot SH}{2 NO\cdot HC}\), y continuando con el procedimiento anterior se llega a \(\rm lado recto_{DE}^2-DE^2 > lado recto_{VY}^2 - VY^2\).

Q. E. D.