En
toda hipérbola o elipse el rectángulo construido sobre los
ejes es menor que el construido sobre dos diámetros conjugados cualesquiera,
y estos disminuyen a medida que los diámetros se acercan a los
ejes.
Esto es evidente en la hipérbola por lo anterior,
porque cada eje es menor que cualquier otro diámetro adyacente a él;
mientras que, en el caso de la elipse, lo demostraremos de la siguiente manera. Sea AB el eje mayor y CD el eje menor de la sección , y que sea EF, KG y NO, PQ y XR, TS diámetros conjugados de esta sección con \(\rm XR = TS\) . Digo que \(\rm AB\cdot CD < EF\cdot KG < XR\cdot TS\).
En efecto, como \(\rm AB+CD < EF+KG\)[Prop. VII.26] entonces \(\rm (AB+CD)^2 < (EF+KG)^2\), de donde \(\rm AB^2+CD^2+2AB\cdot CD = EF^2+KG^2+2EF\cdot KG\). Ya que, \(\rm AB^2+CD^2 = EF^2+KG^2 \) [Prop. VII.13], entonces \(\rm AB\cdot CD < EF\cdot KG\).
El mismo razonamiento establecerá que \(\rm EF\cdot KG < NO\cdot PQ < XR\cdot TS\).
Q. E. D.