Si
el eje transverso de una hipérbola es mayor que su lado recto, la diferencia de los cuadrados de estas dos magnitudes es menor
que la de las mismas magnitudes respecto de cualquier diámetro; esta
diferencia aumenta a medida que e1 diámetro se aleja de1 eje
y es mayor que la que hay entre el cuadrado del eje y el rectángulo
construido con el eje y su lado recto y menor que e1 doble de esta
diferencia.
Sea AC el eje de una hipérbola ; sea H su centro , y \(\rm AC > lado recto_{AC}\).
Asegurémonos que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) , y tracemos unos diámetros KB, ST. Digo que \(\rm AC^2-lado derecho_{AC}^2 < KB^2-lado recto_{KB}^2 < ST^2-lado recto_{ST}^2\).
Tracemos las rectas CL, CD paralelas a los diámetros KB, ST , y tracemos las rectas LM, DE perpendiculares al eje .
Ya que \(\rm \dfrac{CN}{NA} = \dfrac{AO}{OC} = \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\), como \(\rm CN = AO\) y \(\rm NA = OC\), entonces
\(\rm \dfrac{AO^2}{NA^2} = \dfrac{AC^2}{lado recto_{AC}^2}\), de donde \(\rm \dfrac{AO^2}{AO^2-NA^2} = \dfrac{CN\cdot AO}{AO^2-NA^2} = \dfrac{AC^2}{AC^2-lado recto_{AC}^2}\).
Por otra parte, \(\rm NA < MN\), de donde \(\rm NA\cdot NO+MN\cdot NA < MN\cdot NO+MN\cdot NA\), luego
\(\rm NO\cdot NA < MN\cdot OA\). Por tanto \(\rm \dfrac{MO}{OA} < \dfrac{MN}{NA}\), de donde \(\rm \dfrac{MO}{OA} < \dfrac{MO+MN}{OA+NA}\), luego \(\rm \dfrac{MO}{OA} < \dfrac{(MO+MN)ON}{(OA+NA)ON} = \dfrac{(MO+MN)(MO-MN)}{(OA+NA)(OA-NA)} =\dfrac{MO^2-MN^2}{OA^2-NA^2} \). Por tanto \(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{CN\cdot OA} < \dfrac{MO^2-MN^2}{OA^2-NA^2}\), de donde
\(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MO^2-MN^2} < \dfrac{CN\cdot OA}{OA^2-NA^2}\). Como
\(\rm \dfrac{CN\cdot MO}{MO^2-MN^2} = \dfrac{AC^2}{KB^2-lado recto_{KB}^2}\) [Prop. VII.20], entonces
\(\rm \dfrac{CN\cdot OA}{OA^2-NA^2} = \dfrac{AC^2}{AC^2-lado recto_{AC}^2}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{KB^2-lado recto_{KB}^2} < \dfrac{AC^2}{AC^2-lado recto_{AC}^2}\). Por tanto \(\rm KB^2-lado recto_{KB}^2 > AC^2-lado recto_{AC}^2\).
Paralelamente, se tiene \(\rm NM < EN\), de donde \(\rm NM\cdot NO+EN\cdot NM < EN\cdot NO+EN\cdot NM\), luego
\(\rm EO\cdot NM < EN\cdot OM\). Por tanto \(\rm \dfrac{EO}{OM} < \dfrac{EN}{NM}\), de donde \(\rm \dfrac{EO}{OM} < \dfrac{EO+EN}{OM+NM}\), luego \(\rm \dfrac{EO}{OM} = \dfrac{(EO+EN)NO}{(OM+NM)NO} = \dfrac{(EO+EN)(EO-EN)}{(OM+NM)(OM-NM)} = \dfrac{EO^2-EN^2}{OM^2-NM^2}\). Por tanto \(\rm \dfrac{CN\cdot EO}{CN\cdot OM} < \dfrac{EO^2-EN^2}{OM^2-NM^2}\), de donde
\(\rm \dfrac{CN\cdot EO}{EO^2-ON^2} = \dfrac{CN\cdot OM}{OM^2-NM^2}\) y por [Prop. VII.20] se tiene
\(\rm ST^2-lado recto_{ST}^2 > KB^2-lado recto_{KB}^2\)\).
Si se pone \(\rm BP = lado recto_{BK}\), se tiene \(\rm BK^2 - lado recto_{BK}^2 = BK^2 - BP^2\)\(\rm =(BP+PK)^2-BP^2 = 2BP\cdot PK+PK^2\);
luego \(\rm BK^2 - lado recto_{BK}^2 > BK\cdot PK \) y \(\rm BK^2-lado recto_{BK}^2 < 2BK\cdot PK\). Como \(\rm BK\cdot PK = BK^2+BK\cdot PK \)\(\rm = BK^2-BK(BK-PK) = BK^2-BK\cdot BP = BK^2-BK\cdot lado recto_{BK}\), entonces \(\rm BK^2-lado recto_{BK}^2 > BK^2-BK\cdot lado recto_{BK}\). Como \(\rm BK^2-BK\cdot lado recto_{BK} = AC^2-AC\cdot lado recto_{AC}\) [Prop. VII.29], entonces
\(\rm BK^2-lado recto_{BK}^2 > AC^2 - AC\cdot lado recto_{AC}\), de donde \(\rm BK^2-lado recto_{BK}^2 < 2(AC^2- AC\cdot lado recto_{AC})\).
Q. E. D.