La suma de los dos ejes de la hipérbola es menor que la de dos diámetros conjugados cualesquiera y la suma de un diámetro transverso y su conjugado menor que la de otro diámetro transverso y su conjugado si el primer diámetro está más cerca del eje transverso que el segundo.

Sea AC el eje transverso de una hipérbola Paso 1, y H el centro Paso 2. Sean BK, GF y TS, IP otros diámetros conjugados Paso 3. El eje AC será igual o no al eje recto. Si es igual, los diámetros KB, BF serán iguales, y, de manera similar, el diámetro TS será igual al diámetro IP [Prop. VII.23]. Pero, el diámetro KB es mayor que el eje CA, y el diámetro TS es mayor que el diámetro KB, por lo que la proposición queda demostrada. Si, por el contrario, el eje AC no es igual al otro eje de la sección, \(\rm AC^2 - eje conjugado_{AC}^2 = KB^2-FG^2\) [Prop. VII.13], de donde \(\rm (AC+eje conjugado_{AC})(AC-eje conjugado_{AC}) = (KB+FG)(KB-FG)\). Ya que, por hipótesis, \(\rm AC > eje conjugado_{AC}\), entonces \(\rm \dfrac{AC}{eje conjugado_{AC}} > \dfrac{KB}{FG}\) [Prop. VII.21], de donde \(\rm \dfrac{AC}{AC-eje conjugado_{AC}} < \dfrac{KB}{KB-FG}\). Ya que \(\rm AC < KB\), luego \(\rm AC-eje conjugado_{AC} > KB-FG\). Entonces \(\rm AC+eje conjugado_{AC} < KB+FG\). Análogamente, \(\rm BK^2-FG^2 = TS^2-IP^2\), de donde \(\rm (BK+FG)(BK-FG)=(TS+IP)(TS-IP)\). Ya que \(\rm\dfrac{BK}{FG} > \dfrac{TS}{IP}\) [Prop. VII.21], de donde \(\rm\dfrac{BK}{BK-FG} < \dfrac{TS}{TS-IP}\). Como \(\rm BK < TS\), se tiene \(\rm BK-FG > TS-IP\), y entonces \(\rm BK+FG < TS+IP\).

Q. E. D.