Conservando las figuras anteriores, digo que ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2}{\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2-\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}{\mathrm{o}}_{\mathrm{B}\mathrm{K}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{N}\mathrm{C}\cdot \mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{M}{\mathrm{N}}^2-\mathrm{M}{\mathrm{O}}^2}}$.

En efecto, ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2}{\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{N}\mathrm{C}}{\mathrm{M}\mathrm{O}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{N}\mathrm{C}\cdot \mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{M}{\mathrm{O}}^2}}$ [Prop. VII.8] y ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}\mathrm{K}}{\mathrm{T}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{M}\mathrm{N}}}$ [Prop. VII.6 y Prop. VII.7], de donde ${\displaystyle \frac{\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2}{\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2-{\mathrm{T}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{M}{\mathrm{O}}^2}{\mathrm{M}{\mathrm{O}}^2-\mathrm{M}{\mathrm{N}}^2}}$. Por tanto ${\displaystyle \frac{\mathrm{A}{\mathrm{C}}^2}{\mathrm{B}{\mathrm{K}}^2-{\mathrm{T}}^2}}={\displaystyle \frac{\mathrm{N}\mathrm{C}\cdot \mathrm{M}\mathrm{O}}{\mathrm{M}{\mathrm{O}}^2-\mathrm{M}{\mathrm{N}}^2}}$.

Q. E. D.