Si dos tangentes a las hipérbolas opuestas se cortan y se les trazan paralelas que se encuentren y encuentren a la sección, el rectángulo de las rectas comprendidas entre la sección y el punto de intersección de las rectas es al de las rectas tomadas del mismo modo como los cuadrados de las tangentes.

Sean unas hipérbolas opuestas, de diámetros AC y BD Paso 1 y de centro E Paso 2; las tangentes AF y FD cortándose en un punto F Paso 3, y, desde ciertos puntos tracemos paralelas GHIKL y MNQOL a las rectas AF y FD Paso 4. Digo que \(\rm \dfrac{GL\cdot LI}{ML\cdot LQ}=\dfrac{AF^2}{FD^2}\).

Tracemos desde I y Q paralelas IP y QR a AF y FD Paso 5. Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{HL^2}{△HLO}=\dfrac{HI^2}{△HIP}=\dfrac{AF^2}{△AFS}\), entonces \(\rm \dfrac{HL^2-HI^2}{△HLO-△HIP}=\dfrac{AF^2}{△AFS}\), esto es, \(\rm \dfrac{(HL+HI)(HL-HI)}{⏢IPOL}=\dfrac{HL\cdot LI}{⏢IPOL}=\dfrac{AF^2}{△AFS}\). Pero △AFS=△DFJ [Prop. III.4], y ⏢IPOL=⏢KRQL [Prop. III.7], así \(\rm \dfrac{GL\cdot LI}{⏢KRQL}=\dfrac{AF^2}{△DFJ}\). Análogamente, \(\rm \dfrac{ML\cdot LQ}{⏢KRQL}=\dfrac{FDF^2}{△DFJ}\), y así \(\rm \dfrac{GL\cdot LI}{ML\cdot LQ}=\dfrac{AF^2}{FD^2}\).

Q. E. D.