Si por los puntos de contacto de dos tangentes a una de las hipérbolas opuestas se trazan paralelas a las tangentes y transversales a un mismo punto de la otra sección, que corten a las paralelas , la razón del rectángulo limitado por las rectas separadas al cuadrado de las de contactos se compone de la del cuadrado de la recta que une el punto de intersección y el medio de la de contactos comprendida entre este y la otra sección al cuadrado del comprendido entre la misma sección y el punto de intersección y la del rectángulo limitado por las tangentes a la cuarta parte de la recta de contactos.

Sean AB y CD hipérbolas opuestas, de centro O Paso 1, de tangentes AEFG y BEHK Paso 2; tracemos una recta de unión AB Paso 3 que sea dividida en dos partes iguales en un punto L Paso 4; tracemos una recta de unión LE hasta un punto D Paso 6; tracemos, desde A, una paralela AM a BE Paso 6 y, desde B, una paralela BN a AE Paso 7; tomemos un cierto punto C, sobre la sección CD y tracemos rectas de unión CBM y CAN Paso 8. Digo que \(\rm \dfrac{BN\cdot AM}{AB^2}=\dfrac{LD^2}{DE^2}\cdot\dfrac{AE\cdot EB}{AL\cdot LB}\).

Tracemos, desde C y D paralelas KCG y HDF a AB Paso 9; es evidente que AL=LB, de donde HD=DF y KQ=QG. Por tanto QC=QP [Prop. I.47], de manera que CK=KQ-QC=QG-QP=GP. Por otra parte, \(\rm \dfrac{BK^2}{PK\cdot KC}=\dfrac{BH^2}{HD^2}\) [Prop. III.18], y ya que \(\rm HD^2=HD\cdot DF\) y PK=CG, entonces \(\rm \dfrac{BK^2}{CG\cdot KC}=\dfrac{BH^2}{HD\cdot DF}\). Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{GA}{KB}=\dfrac{FA}{HB}\), entonces \(\rm \dfrac{GA\cdot KB}{KB^2}=\dfrac{FA\cdot HB}{BH^2}\), así \(\rm \dfrac{GA\cdot KB}{KB^2}=\dfrac{FA\cdot HB}{BH^2}\), de donde \(\rm \dfrac{GA\cdot KB}{CG\cdot KC}=\dfrac{FA\cdot HB}{HD\cdot DF}=\dfrac{FA\cdot HB}{HE\cdot EF}\cdot\dfrac{HE\cdot EF}{HD\cdot DF}\). Como, por semejanza de triángulos, por una parte \(\rm \dfrac{LD}{DE}=\dfrac{AF}{EF}=\dfrac{HB}{HE}\), entonces \(\rm \dfrac{LA^2}{DE^2}=\dfrac{AF}{EF}\cdot\dfrac{HB}{HE}=\dfrac{AF\cdot HB}{HE\cdot EF}\) y por otra parte \(\rm \dfrac{AE}{AL}=\dfrac{EF}{DF}\) y \(\rm \dfrac{EB}{LB}=\dfrac{HE}{HD}\), de donde \(\rm \dfrac{AE}{AL}\cdot\dfrac{EB}{LB}=\dfrac{HE}{HD}\cdot\dfrac{EF}{DF}\), y por tanto \(\rm \dfrac{AE\cdot EB}{AL\cdot LB}=\dfrac{HE\cdot EF}{HD\cdot DF}\). Así \(\rm \dfrac{GA\cdot KB}{CG\cdot KC}=\dfrac{LD^2}{DE^2}\cdot\dfrac{AE\cdot EB}{AL\cdot LB}\). Pero, por semejanza de triángulos ABN, CGA, \(\rm \dfrac{BN}{AB}=\dfrac{GA}{CG}\), de donde \(\rm \dfrac{MA}{AB}\cdot\dfrac{BN}{AB}=\dfrac{KB}{KC}\cdot\dfrac{GA}{CG}\), así \(\rm \dfrac{MA\cdot BN}{AB^2}=\dfrac{KB\cdot GA}{KC\cdot CG}\), y por tanto \(\rm \dfrac{MA\cdot BN}{AB^2}=\dfrac{LD^2}{DE^2}\cdot \dfrac{AE\cdot EB}{AL\cdot LB}\).

Q. E. D.