Si dos tangentes a una hipérbola o a las hipérbolas opuestas cortan a las asíntotas, las rectas trazadas por los segmentos son paralelas a la de contactos.

Sea AB una hipérbola o unas hipérbolas opuestas Paso 1 de asíntotas CD y DE Paso 2 y de tangentes CAHF y EBHG Paso 3; tracemos rectas de unión AB, FG y CE Paso 4. Digo que son paralelas.

Ya que CD∙DF=GD∙DE [Prop. III.43], así \(\rm\dfrac{GD}{DF}=\dfrac{CD}{DE}\), así CE es paralela a FE. Entonces, por la semejanza de los triángulos GHF, EHC, \(\rm\dfrac{HG}{HE}=\dfrac{HF}{HC}\), de donde \(\rm\dfrac{HG}{GE}=\dfrac{HG}{HG+HE}=\dfrac{HF}{HF+HC}=\dfrac{HF}{FC}\). Y como AF=AC [Prop. II.3], entonces FC=2AF y como GB=BE, entonces GE=2GB, luego \(\rm\dfrac{FC}{AF}=\dfrac{GE}{GB}\). Por tanto, \(\rm\dfrac{HF}{AF}=\dfrac{HG}{GB}\). Así FG es paralela a AB.

Q. E. D.