Dadas las mismas cosas, si, por un punto de una cualquiera de las secciones se trazan dos paralelas, una a la tangente y la otra a la reta que une los puntos de contacto, el triángulo obtenido según estas paralelas y aplicado al diámetro que pasa por el punto de encuentro de las tangentes, difiere del triángulo obtenido según la tangente y el diámetro que pasa por el punto de contacto, del triángulo obtenido según el lado del punto de encuentro de las tangentes.

Sean unas hipérbolas opuestas AB y CD Paso 1 con tangentes AE y DE cortándose en un punto E Paso 2; sea H un centro Paso 3; tracemos rectas de unión AD y EHG Paso 4; tomemos sobre la sección AB un punto cualquiera B y, por este punto, tracemos una paralela BFL a AG Paso 5 y una paralela BM a AE Paso 6. Digo que △KFE+△AKL=△BMF o △KFE-△AKL=△BMF.

Es evidente que AD es bisecada por EH [Prop. II.29 y Prop. II.39], y que EH es un diámetro conjugado al diámetro trazado por H paralelo a AD [Prop. II.38] y por tanto AG es una ordenada a EG [Def. 6].

Ya que GE es un diámetro, y AE es tangente, y AG es una ordenada y desde un punto B de la hipérbola AB, tracemos una paralela BFL a AG y una paralela BM a AE.

En la primera figura se tiene △BMF=△AKL+△KFE [Prop. I.45]. Ya que △LHF+△HAE=△AKL+△KEF, entonces △BMF=△AKL+△KEF, esto es, △BMF-△AKL=△KEF.

En la segunda figura se tiene △LHF-△HAE=△BMF [Prop. I.43]. Ya que △LHF-△HAE=△KFE-△KL, entonces △KFE-△AKL=△BMF.

Ya que -△KEF+△BMF =△AKL o △KEF-△BMF =△AKL, entonces ⏢BKEM=△AKL.

Q. E. D.