Dadas las mismas cosas, si se toman dos puntos en una sección y se traza por uno de ellos la paralela a una tangente y por el otro, la paralela a la recta de contactos, y se cortan y cortan a las secciones, los rectángulos de las rectas comprendidas entre las secciones y el punto de intersección serán entre sí como el de las rectas que unen el punto de intersección y de las secciones al cuadrado de la tangente.

Todas las cosas igual que antes Paso 1, tomemos puntos G y K y, por esos puntos, tracemos paralelas NQGOPR y KST a AF Paso 2 y paralelas GLM y KOUIXVZ a AC Paso 3. Digo que \(\rm \dfrac{KO\cdot OZ}{NO\cdot OG}=\dfrac{BF\cdot FD}{FA^2}\).

Por semejanza de triángulos se tiene \(\rm \dfrac{AL^2}{△ALM}=\dfrac{QO^2}{△QOV}=\dfrac{QG^2}{△QGM}=\dfrac{AF^2}{△AFH}\), de donde \(\rm \dfrac{QO^2-QG^2}{△QOV-△QGM}=\dfrac{AF^2}{△AFH}\), y ya que QG=NQ [Prop. I.47], entonces \(\rm \dfrac{(QO+QG)(QO-QG)}{⏢GOVM}=\dfrac{NO\cdot OG}{⏢GOVM}=\dfrac{AF^2}{△AFH}\).

Pero △AFH=△BYF [Prop. III.11] y ⏢GOVM=⏢KORT [Prop. III.12], luego \(\rm \dfrac{NO\cdot OG}{△KORT}=\dfrac{AF^2}{△BFY}\). Por otra parte \(\rm \dfrac{KO\cdot OZ}{⏢KORT}=\dfrac{BF^2}{△BYF}\), y como BF=FD [Prop. II.38], entonces \(\rm \dfrac{KO\cdot OZ}{⏢KORT}=\dfrac{BF\cdot FD}{△BYF}\) [Prop. III.20], así \(\rm \dfrac{KO\cdot OZ}{NO\cdot OG}=\dfrac{BF\cdot FD}{AF^2}\).

Q. E. D.