Dadas las mismas cosas, si la paralela al diámetro recto corta a las asíntotas, la razón de ña suma de los cuadrados de los segmentos de la paralela al diámetro recto comprendidos entre el punto de intersección de las paralelas y las asíntotas, aumentados en la mitad del cuadrado del diámetro recto, a la de los cuadrados de los segmentos de la paralela al diámetro transverso comprendidos entre dicho punto de intersección y las secciones, es la misma que la de los cuadrados de los diámetros recto y transverso.

Todas las cosas igual que antes, con NL cortando a las asíntotas en unos puntos Q y O. Es necesario demostrar que \(\rm \dfrac{QG^2+GO^2+2EA^2}{FG^2+GK^2}=\dfrac{AC^2}{BD^2}\).

Ya que LQ=ON [Prop. II.16], se tiene \(\rm LG^2+GN^2=(QL+QG)^2+(GO+QL)^2\)\(\rm =QG^2+GO^2+2(QG+GO+ON)QL =QG^2+GO^2+2NQ\cdot QL\). Ya que \(\rm AE^2=NQ\cdot QL\) [Prop. II.11], entonces \(\rm LG^2+GN^2=QG^2+GO^2+2AE^2\).

Por otra parte \(\rm\dfrac{LG^2+GN^2}{FG^2+GK^2}=\dfrac{AC^2}{BD^2}\) [Prop. III.28], de donde \(\rm\dfrac{QG^2+GO^2+2EA^2}{FG^2+GK^2}=\dfrac{AC^2}{BD^2}\).

Q. E. D.