Si dos tangentes cortan a unas hipérbolas opuestas y por los puntos de contacto se traza una recta y por el punto de corte de las tangentes, se traza una paralela a la recta de unión de los puntos de contacto y por el punto medio de la recta de unión de los puntos de contacto se traza una paralela a una de la asíntotas que corte la sección y la paralela trazada por el punto de corte, la recta queda dividida por la mitad y la paralela queda divida en dos partes iguales por la sección.

Sean las hipérbolas opuestas ABC y DEF Paso 1, de tangentes AG y DG Paso 2, de centro H Paso 3 y de asíntota KH Paso 4; y tracemos una recta de unión HG y prolonguémosla Paso 5, y tracemos también una recta de unión ALD Paso 6; es evidente que esta recta es bisecada en un punto L. Tracemos por G y H paralelas BHE y CGF a AD Paso 7 y por L, una paralela LMN a HK Paso 8. Digo que LM=MN.

Tracemos desde E y M paralelas EK y MQ a GH Paso 9 y desde M una paralela MP a AD Paso 10.

Ya que \(\rm \dfrac{BE}{lado recto_{BE}}=\dfrac{HE^2}{EK^2}\) [Prop. II.1] y \(\rm \dfrac{BQ\cdot QE}{QM^2}=\dfrac{BE}{lado recto_{BE}}\), entonces \(\rm \dfrac{BQ\cdot QE}{QM^2}=\dfrac{HE^2}{EK^2}\), de donde \(\rm \dfrac{BQ\cdot QE+HE^2}{QM^2+EK^2}=\dfrac{HE^2}{EK^2}\). Como \(\rm BQ\cdot QE+HE^2=(HQ+HE)(HQ-HE)+HE^2=HQ^2\), entonces \(\rm \dfrac{HQ^2}{QM^2+EK^2}=\dfrac{HE^2}{EK^2}\).

Por otro lado, \(\rm GH\cdot HL=\frac{1}{4}diámetro conjugado^2\) [Prop. I.18] y \(\rm KE^2=BE\cdot lado recto_{BE}=\frac{1}{4}diámetro conjugado^2\) [Prop. II.1], luego \(\rm GH\cdot HL=KE^2\). Ya que QM=HP, entonces \(\rm \dfrac{HQ^2}{GH\cdot HL+HP^2}= \dfrac{MP^2}{GH\cdot HL+HP^2}=\dfrac{HE^2}{EK^2}\).

Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{MP^2}{PL^2}=\dfrac{HE^2}{EK^2}\), entonces \(\rm \dfrac{MP^2}{GH\cdot HL+HP^2}=\dfrac{MP^2}{PL^2}\), de donde \(\rm PL^2=GH\cdot HL+HP^2\). Así \(\rm LG=PG\) y como las rectas MP, GN son paralelas, entonces \(\rm LM=MN\).

Q. E. D.