Si dos tangentes a las hipérbolas opuestas se cortan y por un punto de ellas se traza la paralela a una de las tangentes que corte a la sección y a la otra tangente, el rectángulo de las rectas comprendidas entre la sección y esta otra tangente es al cuadrado de la recta separada a partir del punto de contacto como los cuadrados de las tangentes.

Sean unas hipérbolas opuestas AB y MN Paso 1, tangentes ACL y BCH Paso 2 y diámetros AM y BN pasando por los puntos de contacto Paso 3; tomemos sobre la sección MN un punto cualquiera D Paso 4, y desde este punto, tracemos una paralela EDF a BH Paso 5. Digo que \(\rm\dfrac{FE\cdot ED}{AE^2}=\dfrac{BC^2}{CA^2}\).

Tracemos por D una paralela DQ a AE Paso 6. Ya que AB es una hipérbola y BN su diámetro y BH una tangente y BF una paralela a BH, así FO=OD [Prop. I.48]. Y añadimos ED, así FE∙ED+DO²=EO² [Euclides:Prop. II.6]. Así, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{DO^2}{△QDO}=\dfrac{EO^2}{△EOL}\), de donde, \(\rm\dfrac{EO^2-DO^2}{△EOL-△QDO}=\dfrac{EO^2}{△EOL}\), luego \(\rm FE\cdot ED=EO^2-DO^2\). Así \(\rm\dfrac{FE\cdot ED}{⏢DQLE}=\dfrac{EO^2}{△EOL}\). Pero, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{BC^2}{△BCL}=\dfrac{EO^2}{△EOL}\). Como ⏢DQLE=△AEG [Euclides:Prop. III.6], y △BCL=△ACH [Prop. III.1], entonces \(\rm\dfrac{BC^2}{△ACH}=\dfrac{FE\cdot ED}{△AEG}\). Pero, por la semejanza de los triángulos ACH,AEG, \(\rm\dfrac{△ACH}{CA^2}=\dfrac{△AEG}{EA^2}\), entonces \(\rm\dfrac{FE\cdot ED}{EA^2}=\dfrac{BC^2}{CA^2}\).

Q. E. D.