Sean las mismas hipótesis que antes y uno de los puntos, por ejemplo K, está entre los diámetros, y el otro es idéntico a C o a D, por ejemplo a C y tracemos las paralelas .
Digo que △CEP=⏢KIEM y que ⏢KLCM=⏢LIPC.
La recta AEC es un diámetro, luego AE=EC. Ya que las rectas AF, CP son paralelas, entonces △CEP=△AEF [Prop. III.8], Como, △ANM=⏢KIFN [Prop. III.5],
entonces △ANM-⏢FEMN=⏢KIFN-⏢FEMN, esto es, △AEF=⏢KIEM. Por tanto, △CEP=⏢KIEM. Y también, △CEP-⏢EPRM=⏢KIEM-⏢EPRM,
esto es, △CRM=⏢KIPR, de donde △CRM+⏢KLCR=⏢KIPR+⏢KLCR, esto es, ⏢KLCM=⏢LIPC.
Q. E. D.