Si por el punto de intersección de dos tangentes a una sección cónica, a una circunferencia o a las hipérbolas opuestas se traza una recta que corte a la curva en dos puntos, los segmentos determinados por la recta de contactos serán entre sí como la recta completa a la separada en el exterior.

Sean AB una sección cónica Paso 1 y tangentes AC y CB Paso 2; tracemos una recta de unión AB Paso 3 y tracemos una recta CDEF Paso 4. Digo que \(\rm \dfrac{FE}{ED}=\dfrac{CF}{CD}\).

Tracemos por A y C diámetros CH y AK Paso 5 y desde F y D paralelas DP, FR, LFM y NDO a AH y LC Paso 6. Ya que LFM es paralela a QDO, \(\rm \dfrac{LF}{QD}=\dfrac{FC}{CD}\) y \(\rm \dfrac{FM}{DO}=\dfrac{FC}{CD}\), de donde \(\rm \dfrac{FM}{DO}=\dfrac{LF}{QD}\), luego \(\rm \dfrac{FM}{DO}=\dfrac{FM+LF}{DO+QD}=\dfrac{LM}{QO}\) y por tanto \(\rm \dfrac{FM^2}{DO^2}=\dfrac{LM^2}{QO^2}\). Pero \(\rm \dfrac{△LMC}{△QCO}=\dfrac{LM^2}{QO^2}\) y \(\rm \dfrac{△FRM}{△DPO}=\dfrac{FM^2}{DO^2}\) Euclides:Prop. VI.19], luego \(\rm \dfrac{△FRM}{△DPO}=\dfrac{△LMC}{△QCO}\), de donde \(\rm \dfrac{△LMC- △FRM}{△QCO- △DPO}=\dfrac{⏢LCRF}{⏢QCPD}=\dfrac{△LMC}{△QCO}\). Ya que ⏢LCRF=△ALK, y ⏢QCPD=△ANQ [Prop. III.2 y Prop. III.11], así \(\rm \dfrac{△ALK}{△ANQ}=\dfrac{△LMC}{△QCO}\), de donde \(\rm \dfrac{△ALK}{△ANQ}=\dfrac{LM^2}{QO^2}\). Pero \(\rm \dfrac{FC^2}{CD^2}=\dfrac{LM^2}{QO^2}\), y \(\rm \dfrac{LA^2}{AQ^2}=\dfrac{△ALK}{△ANQ}\), o \(\rm \dfrac{FE^2}{ED^2}=\dfrac{△ALK}{△ANQ}\), de donde \(\rm \dfrac{FE^2}{EA^2}=\dfrac{FC^2}{CD^2}\) y por tanto \(\rm \dfrac{FE}{EA}=\dfrac{FC}{CD}\).

Q. E. D.