Proposición 37

Si por el punto de intersección de dos tangentes a una sección cónica, a una circunferencia o a las hipérbolas opuestas se traza una recta que corte a la curva en dos puntos, los segmentos determinados por la recta de contactos serán entre sí como la recta completa a la separada en el exterior.

Sean AB una sección cónica y tangentes AC y CB ; tracemos una recta de unión AB y tracemos una recta CDEF . Digo que $\frac{F E}{E D} = \frac{C F}{C D}$ .

Tracemos por A y C diámetros CH y AK y desde F y D paralelas DP, FR, LFM y NDO a AH y LC . Ya que LFM es paralela a QDO, $\frac{L F}{Q D} = \frac{F C}{C D}$ y $\frac{F M}{D O} = \frac{F C}{C D}$ , de donde $\frac{F M}{D O} = \frac{L F}{Q D}$ , luego $\frac{F M}{D O} = \frac{F M + L F}{D O + Q D} = \frac{L M}{Q O}$ y por tanto $\frac{F M^{2}}{D O^{2}} = \frac{L M^{2}}{Q O^{2}}$ . Pero $\frac{△ L M C}{△ Q C O} = \frac{L M^{2}}{Q O^{2}}$ y $\frac{△ F R M}{△ D P O} = \frac{F M^{2}}{D O^{2}}$ Euclides:Prop. VI.19], luego $\frac{△ F R M}{△ D P O} = \frac{△ L M C}{△ Q C O}$ , de donde $\frac{△ L M C - △ F R M}{△ Q C O - △ D P O} = \frac{⏢ L C R F}{⏢ Q C P D} = \frac{△ L M C}{△ Q C O}$ . Ya que ⏢LCRF=△ALK, y ⏢QCPD=△ANQ [Prop. III.2 y Prop. III.11], así $\frac{△ A L K}{△ A N Q} = \frac{△ L M C}{△ Q C O}$ , de donde $\frac{△ A L K}{△ A N Q} = \frac{L M^{2}}{Q O^{2}}$ . Pero $\frac{F C^{2}}{C D^{2}} = \frac{L M^{2}}{Q O^{2}}$ , y $\frac{L A^{2}}{A Q^{2}} = \frac{△ A L K}{△ A N Q}$ , o $\frac{F E^{2}}{E D^{2}} = \frac{△ A L K}{△ A N Q}$ , de donde $\frac{F E^{2}}{E A^{2}} = \frac{F C^{2}}{C D^{2}}$ y por tanto $\frac{F E}{E A} = \frac{F C}{C D}$ .

Q. E. D.