El rectángulo de las rectas que una tangente a la hipérbola determina en las asíntotas a partir del centro equivale al de las que determina la tangente en el vértice.

Sea AB una hipérbola Paso 1, de asíntotas CD y DE Paso 2 y de eje BD Paso 3; tracemos por B una tangente FBG Paso 4 y tracemos otra tangente arbitraria CAH Paso 5. Digo que \(\rm CD\cdot DH=DF\cdot DG\).

Tracemos desde A y B paralelas AK y BL a DG Paso 6 y paralelas AM y BN a CD Paso 7. Ya que CAH es tangente CA=AH [Prop. II.3], y por tanto CH=2HA, de donde CD=2KD=2AM, y DH=2AM=2AK. Así \(\rm CD\cdot DH=4AK\cdot AM\). Entonces análogamente DF=2DL=2BN y DG=2Dn=2LB, de donde \(\rm DF\cdot DG=4LB\cdot BN\). Pero \(\rm AK\cdot AM=LB\cdot BN\) [Prop. II.12]. Así también \(\rm CD\cdot DH=DF\cdot DG\).

Lo mismo podría demostrarse si DB es algún otro diámetro y no el eje.

Q. E. D.