Dadas las mismas cosas, si el punto de intersección cae fuera de la región situada entre las cuatro secciones, el rectángulo limitado por los segmentos de la paralela al diámetro transverso diferirá en más o en menos del doble del cuadrado de la mitad del diámetro transverso en el área con la cual el rectángulo limitado por los segmentos de la paralela al diámetro recto tiene la misma razón que los cuadrados de los diámetros recto y transverso, según que dicho punto de intersección sea interior a una de las secciones o de su conjugada.

Pero si el encuentro en el punto Q cae en el interior de una de las secciones A y C, como se ve en la figura, entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{BD^2}(RQ\cdot QG)-QF\cdot QL=2AE^2\).

Razonando como en [Prop. III.24] se llega a \(\rm \dfrac{NQ\cdot QS}{KQ\cdot QH}=\dfrac{DE^2}{AE^2}\), de donde \(\rm \dfrac{NQ\cdot QS+DE^2}{KQ\cdot QH+EA^2}=\dfrac{DE^2}{AE^2}\). Como, \(\rm DE^2=NG\cdot GS\) [Prop. II.11], entonces \(\rm \dfrac{NQ\cdot QS+NG\cdot GS}{KQ\cdot QH+EA^2}=\dfrac{DE^2}{AE^2}\). Ya que \(\rm NQ\cdot QS+NG\cdot GS=RQ\cdot QG\), entonces \(\rm \dfrac{RQ\cdot QG}{KQ\cdot QH+EA^2}=\dfrac{DE^2}{EA^2}\). Por tanto \(\rm \dfrac{AC^2}{BD^2}(RQ\cdot QG)=\dfrac{EA^2}{DE^2}(RG\cdot QG)=KQ\cdot QH+EA^2\).

Queda demostrar que \(\rm LQ\cdot QF+AE^2=KQ\cdot QH\). Ya que \(\rm EA^2=LH\cdot HF\) [Prop. II.11 y Prop. II.16] entonces \(\rm LQ\cdot QF+LH\cdot HF=(QP+PL)(QP-PL)+(LP+PH)(LP-LH)\)\(\rm =QP^2-PL^2+LP^2-PH^2=QP^2-PH^2=(QP+PH)(QP-PH)\)\(\rm =KQ\cdot QH\).

Q. E. D.