Si por un punto de una asíntota de una hipérbola se traza una tangente a la curva y por el punto de contacto se traza una paralela a una asíntota, la paralela a la otra asíntota trazada por el mismo punto queda dividida, por la sección, en dos partes iguales.

Sea AB una hipérbola Paso 1 de asíntotas CD y DE Paso 2 y tomemos un punto C en CD; y por este punto, tracemos una tangente CBE a la sección Paso 3; y por B tracemos una paralela FBG a CD Paso 4; y, por C, una paralela CAG a DE Paso 5. Digo que CA=AG.

Tracemos desde A una paralela AH a CD Paso 6 y desde B una paralela BK a DE Paso 7. Ya que CB=BE [Prop. II.3], así también CK=KD, y DF=FE.

Y ya que KB∙BF=CA∙AH [Prop. II.12] y BF=DK=CK, AH=DC y KB=CG, así CG∙CK=CA∙DC. Así \(\rm \dfrac{CG}{AC}=\dfrac{DC}{CK}=\dfrac{2CK}{CK}=2\), de donde GC=2AC.

Así AC=AG.

Q. E. D.