Si dos tangentes a las hipérbolas opuestas se cortan y por su punto de intersección se traza una paralela a la recta de contactos, que encuentre a las secciones, y otra paralela a esta última, que encuentre a las secciones y a las tangentes, el rectángulo de las rectas comprendidas entre las secciones y una tangente es al cuadrado de la separada a partir del punto de contacto como el rectángulo de las rectas que unen el punto de intersección y de las secciones al cuadrado de la tangente.

Sean unas hipérbolas opuestas AB y CD Paso 1, de centro E Paso 2 y de tangentes AF y CF Paso 3; tracemos una recta de unión AC Paso 4; tracemos también rectas de unión EF y AE y prolonguémoslas Paso 5; tracemos desde F una paralela BFD a AC Paso 6; tomemos un punto cualquiera K Paso 7, y por este punto, tracemos una paralela KLSMNQ a AC Paso 8. Digo que \(\rm\dfrac{KL\cdot LQ}{AL^2}=\dfrac{BF\cdot FD}{FA^2}\).

Tracemos desde K y B paralelas KP y BR a AF Paso 9. Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{KS^2}{△KSP}=\dfrac{LS^2}{△LSF}=\dfrac{BF^2}{△BFR}\), entonces \(\rm\dfrac{KS^2-LS^2}{△KSP-△LSF}=\dfrac{BF^2}{△BFR}\), de donde \(\rm\dfrac{KL\cdot LQ}{⏢KLFP}=\dfrac{BF^2}{△BFR}\). Ya que FE es un diámetro no transverso [Prop. II.38], BF=FD, de donde BF²= BF∙FD. Por otra parte, △BRF=△AFH [Prop. III.11], y ⏢KLFP=△ALN [Prop. III.5], entonces \(\rm\dfrac{KL\cdot LQ}{△ALN}=\dfrac{BF\cdot FD}{△AFH}\). Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{AL^2}{△ALN}=\dfrac{AF^2}{△AFH}\), entonces \(\rm\dfrac{KL\cdot LQ}{AL^2}=\dfrac{BF\cdot FD}{FA^2}\).

Q. E. D.