Dadas las mismas cosas, si por el centro de la sección se traza una paralela a la recta que une el punto de contacto y uno de los puntos, esta paralela será igual a la mitad del eje.

Sean los mismos datos que antes Paso 1 y un centro H Paso 2; tracemos una recta de unión EF Paso 3; cortándose las rectas DC y AB en un punto K Paso 4 y tracemos, por H, una paralela HL a EF Paso 5. Digo que HL=HB.

Tracemos las rectas de unión EG, AL, LG y LB Paso 6 y, desde G, tracemos una paralela GM a EF Paso 7. Ya que \(\rm AF\cdot FB=AG\cdot GB\) [Prop. III.45], entonces \(\rm\dfrac{AF}{GB}=\dfrac{AG}{FB}=\dfrac{AG\mp AF}{FB\mp GB}=\dfrac{AB\mp GB\mp AF}{AB\mp AF\mp GB}=1\), luego AF=GB. Y ya que \(\widehat{\rm CEF}=\widehat{\rm MEG}\) [Prop. III.48], y \(\widehat{\rm CEF}=\widehat{\rm EMG}\), así también \(\widehat{\rm EMG}=\widehat{\rm DEG}\). Y así EG=GM. Pero ha sido demostrado también que EL=LM, así GL es perpendicular a EM. Y como \(\widehat{\rm ALB}\) es recto [Prop. III.49], y la circunferencia trazada con AB como diámetro pasará por L. Y HA=HB, así también, ya que HL es un radio de la semicircunferencia, HL=HB.

Q. E. D.