Si a cada lado del eje de una hipérbola o de las hipérbolas opuestas se aplica un rectángulo equivalente a la cuarta parte de la figura aumentado en un cuadrado, y si desde los puntos procedentes de la aplicación de este rectángulo las rectas se quiebran en una de las secciones, la recta mayor a la menor en el eje.

Sea una hipérbola o unas hipérbolas opuestas, de eje mayor AB y centro C Paso 1, con \(\rm AD\cdot DB= AE\cdot EB =\frac{1}{4}AB\cdot lado recto_{AB}\) [esto es, D y E son los focos]Paso 2 y desde los puntos E y D, tracemos hasta la línea rectas EF y FD formando una línea quebrada Paso 3. Digo que EF-FD=AB.

Tracemos desde F una tangente FHK Paso 4y desde C una paralela GCH a FD Paso 5, así \(\widehat{\rm KHG}=\widehat{\rm KFD}\) pues son alternos. Ya que \(\widehat{\rm KFD}=\widehat{\rm GFH}\) [Prop. III.48], entonces \(\widehat{\rm GFH}=\widehat{\rm KHG}\), así GF=GH. Pero AE=BD y AC=CB, de donde EC=CD, luego GF=GE. así GH=GE. Y por tanto FE=2GE=2GH=2(GC+CH). Y ya que CH=CB [Prop. III.50], así FE=2(GC+CB). Pero AB=2CB y como, por semejanza de triángulos, FD=2CG, así FE=FD+AB. Y por tanto EF-FD=AB.

Q. E. D.