La tangente a una cónica que corte a las paralelas a una ordenada trazadas por los extremos de un diámetro determina en estas rectas un rectángulo equivalente a la cuarta parte de la figura aplicada al mismo diámetro.

Sea una de las secciones citadas, de diámetro AB Paso 1; tracemos desde los puntos A y B paralelas AC, DB a una ordenada Paso 2 y una recta CED tangente en un punto E Paso 3. Digo que \(\rm AC\cdot BD=\frac{1}{4}AB\cdot lado recto_{AB}\).

Sea F su centro Paso 4 y tracemos desde él una paralela FGH a AC y BD Paso 5. Ya que AC y BD son paralelas, y FG también es paralela, así es el diámetro conjugado a AB [Def. 1.6], y por tanto \(\rm FG^2=\frac{1}{4}AB\cdot lado recto_{AB}\) [Def. 1.11].

Si FG pasa por E en el caso de la elipse y la circunferencia [Prop. I.32 y Euclides:Prop. I.33] AC=FG=BD e inmediatamente es evidente que \(\rm AC\cdot BD=FG^2=\frac{1}{4}AB\cdot lado recto_{AB}\).

Si no pasase por él, prolonguemos AC y BA hasta cortarse en K Paso 6, y tracemos desde E una paralela EL a AC Paso 7, y una paralela EM a AB Paso 8. Ya que \(\rm KF\cdot FL=FB^2=AF^2\) [Prop. I.37], de donde \(\rm\dfrac{AF}{FL}=\dfrac{KF}{AF}\), y \(\rm\dfrac{KA}{AL}=\dfrac{KF\pm AF}{AF\pm FL}=\dfrac{KF}{AF}\), inversamente \(\rm\dfrac{LA}{KA}=\dfrac{FB}{KF}\), de donde \(\rm\dfrac{LA}{KA}=\dfrac{FB}{KF}\). Por tanto \(\rm\dfrac{KL}{KA}=\dfrac{LA\pm KA}{KA}=\dfrac{FB\pm KF}{KF}=\dfrac{BK}{KF}\). Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{KL}{KA}=\dfrac{EL}{CA}\), y \(\rm\dfrac{BK}{KF}=\dfrac{DB}{FH}\), luego \(\rm\dfrac{EL}{CA}=\dfrac{DB}{FH}\). Así \(\rm DB\cdot CA=FH\cdot EL=FH\cdot FM\). Pero \(\rm FH\cdot FM=FG^2\) [Prop. I.38], luego \(\rm DB\cdot CA=FG^2\), así \(\rm DB\cdot CA=\frac{1}{4}AB\cdot lado recto_{AB}\).

Q. E. D.