Sean las mismas hipótesis que antes , y en lugar de los puntos K y L tomemos los puntos C y D donde los diámetros cortan a las secciones, y que, por estos puntos, tracemos paralelas a las tangentes .
Digo que ⏢CEFJ=⏢DEGO y ⏢PFJC=⏢ODIG.
Ya que △AGH=△HBF [Prop. III.1], entonces △AGH+△GHF=△HBF+△GHF, esto es, △AGF=△BFG.
Como estos triángulos euivalentes tienen la misma base GF, entonces tienen la misma altura, luego
y la recta AB es paralela a la recta GF. Así \(\rm\dfrac{BE}{EF}=\dfrac{AE}{EG}\), de donde \(\rm\dfrac{BE}{BE-EF}=\dfrac{AE}{AE-EG}\), esto es, \(\rm\dfrac{BE}{BF}=\dfrac{AE}{AG}\). Por otra parte, DE=BE y CE=AE [Prop. I.30], de donde \(\rm\dfrac{DE}{BE}=\dfrac{CE}{AE}\), luego \(\rm\dfrac{DB}{BE}=\dfrac{2DE}{BE}=\dfrac{2CE}{AE}=\dfrac{CA}{AE}\). Por tanto \(\rm\dfrac{BE}{BF}\cdot\dfrac{DB}{BE}=\dfrac{AE}{AG}\cdot\dfrac{CA}{AE}\), de donde \(\rm\dfrac{DB}{BF}=\dfrac{CA}{AG}\), luego \(\rm\dfrac{DB^2}{BF^2}=\dfrac{CA^2}{AG^2}\).
Por otra parte, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{△OBD}{△HBF}=\dfrac{DB^2}{BF^2}\) y \(\rm\dfrac{△CJA}{△AHG}=\dfrac{CA^2}{AG^2}\), luego \(\rm\dfrac{△OBD}{△HBF}=\rm\dfrac{△CJA}{△AHG}\).
Y alternativamente \(\rm\dfrac{△OBD}{△CJA}=\rm\dfrac{△HBF}{△AHG}\).
Pero △AHG=△HBF [Prop. III.1], así △CJA=△OBD.
Por otra parte, ha sido demostrado que △AHG=△HBF, así △CJA-△AHG=△OBD-△HBF, de donde ⏢CGHJ=⏢DFHO.
Por tanto ⏢CGHJ-⏢GHFE=⏢DFHE-⏢GHFE, esto es, ⏢CEFJ=⏢DEGO.
Además, ya que CE=EA y CP es paralela a AF, se tiene △CPE=△AEF, luego △CPE=△DEI, luego △CPE+⏢CEFJ=△DEI+⏢DEGO, esto es,
⏢PFJC=⏢ODIG.
Q. E. D.