Si dos tangentes a las hipérbolas opuestas son paralelas y se trazan dos rectas que se cortan y corten a las secciones: una paralela a las tangentes y la otra a la recta de contactos, el rectángulo de las rectas comprendidas entre las secciones y el punto de intersección será al de las comprendidas entre una sección y el punto de intersección como el lado transverso de la figura aplicada a la recta que une los puntos de contacto es al lado recto.

Sean unas hipérbolas opuestas A y B Paso 1, con tangentes AC y BD a las secciones que son paralelas Paso 2 y tracemos una recta de unión AB Paso 3. Tracemos una paralela EHG a AB Paso 4 y una paralela KELM a AC Paso 5. Digo que \(\rm\dfrac{GE\cdot EH}{KE\cdot EM}=\dfrac{AB}{lado recto_{AB}}\).

\(\rm \dfrac{}{}=\dfrac{}{}\) Tracemos desde G y H paralelas HN y GF a AC Paso 6, ya que AC y BD son tangentes paralelas a la hipérbola, AB es un diámetro [Prop. II.31], y KL, HN y GF son ordenadas a él [Prop. I.32]. Ya que LE=NH, entonces \(\rm \dfrac{BL\cdot LA}{LK^2}=\dfrac{BN\cdot NA}{NH^2}=\dfrac{BN\cdot NA}{LE^2}=\dfrac{AB}{lado recto_{AB}}\) [Prop. I.21], de donde \(\rm \dfrac{BL\cdot LA-BN\cdot NA}{LK^2-LE^2}=\dfrac{AB}{lado recto_{AB}}\). Pero \(\rm LA=LN+NA\) y \(\rm BN=BL-LN\), de donde \(\rm BL\cdot LA-BN\cdot NA=BL(LN+NA)-(BL-LN)NA\)\(\rm =BL\cdot LN+LN\cdot NA=LN(BL+NA)\), y ya que NA=BF [Prop. I.16], \(\rm LN(BL+NA)=LN(BL+BF)=LN\cdot LF\). Pero FL=GE y LN=EH, luego \(\rm LN\cdot LF=GE\cdot EH\). Por otro lado, KL=LM [Prop. I.47], luego \(\rm KL^2-LE^2=LM^2-LE^2=(LM+LE)(LM-LE)=EM\cdot EK\). Así \(\rm \dfrac{GE\cdot EH}{KE\cdot EM}=\dfrac{AB}{lado recto_{AB}}\).

Q. E. D.