Si por el punto de intersección de dos tangentes a una hipérbola se traza la paralela a una de las asíntotas que corte a la curva y a la recta de contactos, la recta situada entre esta y dicho punto de intersección queda dividida por la sección en dos partes iguales.

Sea ABC una hipérbola Paso 1, de tangentes AD y DC Paso 2, de asíntotas EF y FG Paso 3; tracemos una recta de unión AC Paso 4, y tracemos por D una paralela DKL a FE Paso 5. Digo que DK=KL.

Tracemos una recta de unión FDBM y prolonguémosla en ambas direcciones y sea FH=BF Paso 6, y tracemos desde B y K paralelas BE y KN a AC Paso 7. Así han sido trazadas como ordenadas. Y ya que el triángulo BEF es semejante al triángulo DNK, así \(\rm \dfrac{BF}{BE}=\dfrac{DN}{NK}\), de donde \(\rm \dfrac{BF^2}{BE^2}=\dfrac{DN^2}{NK^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{HB}{lado recto_{HB}}=\dfrac{BF^2}{BE^2}\) [Prop. II.1], así también \(\rm \dfrac{HB}{lado recto_{HB}}=\dfrac{DN^2}{NK^2}\).

\(\rm \dfrac{}{}=\dfrac{}{}\) Pero \(\rm \dfrac{HN\cdot NB}{NK^2}=\dfrac{HB}{lado recto_{HB}}\) [Prop. I.20], así también \(\rm \dfrac{HN\cdot NB}{NK^2}=\dfrac{DN^2}{NK^2}\). Así HN∙NB=DN². Y también MF∙FD =FB² [Prop. I.37] ya que AD es tangente y AM ha sido trazado como una ordenada, y por tanto también HN∙NB+FB²=MF∙FD+DN².

Pero HN∙NB+FB²=(FN+FB)(FN-FB)+FB²=FN², y así MF∙FD+DN²=FN², relación que expresa que N es el punto medio de DM.

Por tanto DN=NM y como KN y LM son paralelas, entonces DK=KL.

Q. E. D.