Si por el punto de intersección de dos tangentes a una hipérbola se traza la paralela a una de las asíntotas que corte a la curva y a la recta de contactos, la recta situada entre esta y dicho punto de intersección queda dividida por la sección en dos partes iguales.

Sea ABC una hipérbola Paso 1 de centro D Paso 2 y asíntota DE Paso 3; tracemos tangentes AF y FC Paso 4, y tracemos rectas de unión CA y FD y prolonguémoslas hasta puntos G y H Paso 5; es claro que AH=HC [Prop. II.30]. Tracemos por F una recta FK paralela a AC Paso 6 y, por H, una paralela HLK a DE Paso 7. Digo que KL=HL.

Tracemos desde B y L paralelas a AC Paso 8, entonces, por la semejanza de los triángulos HML, DBE, \(\rm \dfrac{HM^2}{ML^2}=\dfrac{DB^2}{BE^2}\). Ya que \(\rm\dfrac{GB}{lado recto_{GB}}=\dfrac{DB^2}{BE^2}\) [Prop. II.1] y \(\rm\dfrac{BG\cdot MG}{ML^2}=\dfrac{GB}{lado recto_{GB}}\) [Prop. I.21], luego \(\rm \dfrac{BM\cdot MG}{ML^2}=\dfrac{DB^2}{BE^2}\), y así \(\rm MG\cdot GB=MH^2\).

Ya que \(\rm DB^2=HD\cdot DF\) [Prop. I.37], así \(\rm BM\cdot MG+DB^2=HD\cdot DF+MH^2\). Como \(\rm BM\cdot MG+DB^2=(DM-DB)(DM+DB)+DB^2=DM^2\), entonces \(\rm DM^2=HD\cdot DF+MH^2\).

Así FM=MH.

Y KF y LM son paralelas, así KL=LH.

Q. E. D.