Si dos tangentes a una sección cónica o a una circunferencia se cortan y por un punto de la sección se traza una paralela a a una de las tangentes que encuentre a la sección y a la otra tangente, el área limitada por las rectas comprendidas entre la sección y esta última tangente tendrá con el cuadrado de la recta separada a partir del punto de contacto la misma razón que los cuadrados de las tangentes.

Sea una sección cónica o una circunferencia AB Paso 1; tracemos tangentes AC y CB a AB que se cortan en un punto C Paso 2; tomemos un punto D sobre la sección AB y, que por este punto, tracemos una paralela EDF a CB Paso 3. Digo que \(\rm\dfrac{FE\cdot ED}{EA^2}=\dfrac{BC^2}{AC^2}\).

Sean AGH y KBL diámetros trazados por A y B Paso 4 y tracemos desde D una paralela DMN a AL Paso 5, es evidente DK=KF [Prop. I.46 y Prop. I.47], y △AEG=⏢DNLE [Prop. III.2], y △BLC=△ACH [Prop. III.1]. Ya que DK=KF, \(\rm FE\cdot ED+DK^2=(ED+FD)ED+DK^2=(ED+2DK)ED+DK^2\)\(\rm =ED^2+2DK\cdot ED+DK^2=(ED+DK)^2=KE^2\). Y ya que el triángulo ELK es semejante al triángulo DNK, \(\rm\dfrac{△EKL}{△DNK}=\dfrac{EK^2}{DK^2}\). Y alternativamente, \(\rm\dfrac{DK^2}{△DNK}=\dfrac{EK^2}{△ELK}\), de donde \(\rm\dfrac{EK^2-DK^2}{△ELK-△DNK}=\dfrac{EK^2}{△ELK}\), luego \(\rm FE\cdot ED=EK^2-DK^2\), esto es, \(\rm\dfrac{FE\cdot ED}{⏢DNLE}=\dfrac{EK^2}{△ELK}\).

Ya que los triángulos LCB, ELK son semejantes, \(\rm\dfrac{CB^2}{△LCB}=\dfrac{EK^2}{△ELK}\), de donde \(\rm\dfrac{CB^2}{△LCB}=\dfrac{FE\cdot ED}{⏢DNLE}\). Pero ⏢DNLE=△AEG [Prop. III.2] y △LCB=△AHC [Prop. III.1], así \(\rm\dfrac{CB^2}{△AHC}=\dfrac{FE\cdot ED}{△AEG}\), de donde \(\rm\dfrac{AEG}{AHC}=\dfrac{FE\cdot ED}{CB^2}\). Ya que, por la semejanza de los triángulos AGE, AHC, \(\rm\dfrac{EA^2}{AC^2}=\dfrac{△AEG}{△AHC}\), luego \(\rm\dfrac{AA^2}{AC^2}=\dfrac{FE\cdot ED}{CB^2}\). Por tanto \(\rm\dfrac{FE\cdot ED}{EA^2}=\dfrac{CB^2}{AC^2}\).

Q. E. D.