Si por el punto de intersección de dos tangentes a unas hipérbolas opuestas se traza la paralela a una de las asíntotas que corte a la curva y a la recta de contactos, la recta situada entre esta y dicho punto de intersección queda dividida por la sección en dos partes iguales.

Sean las hipérbolas opuestas A y B Paso 1, de tangentes AC y CB Paso 2; tracemos una recta de unión AB y prolonguémosla Paso 3; sea FE una asíntota Paso 4 y tracemos por C una paralela CGH a FE Paso 5. Digo que CG=GH.

Tracemos una recta de unión CE y prolonguémosla hasta D Paso 6, y tracemos desde E y G rectas paralelas NEKM y GQ a AB Paso 7, y desde G y K tracemos rectas paralelas KF y GL a CD Paso 8. Ya que el triángulo KFE es semejante al triángulo MLG, \(\rm \dfrac{ML^2}{LG^2}=\dfrac{KE^2}{KF^2}\). Ya que \(\rm \dfrac{KN}{lado recto_{KN}}=\dfrac{KE^2}{KF^2}\) [Prop. I.31] y \(\rm \dfrac{NL\cdot LK}{LG^2}=\dfrac{KN}{lado recto_{KN}}\)[Prop. I.21], luego \(\rm \dfrac{NL\cdot LK}{LG^2}=\dfrac{KE^2}{KF^2}\).

Así NL∙LK=ML², de donde NL∙LK+KE²=LE²=GQ²=ML²+KE². Ya que \(\rm NL\cdot LK+KE^2=(LE+EN)(LE-EK)+KE^2\)\(\rm =(LE+KE)(LE-KE)+KE^2=LE^2=GQ^2\), entonces \(\rm GQ^2=ML^2+KE^2\). Como \(\rm \dfrac{ML^2}{LG^2}=\dfrac{KE^2}{KF^2}=\dfrac{GQ^2}{QC^2}\), entonces \(\rm \dfrac{ML^2+KE^2}{LG^2+KF^2}=\dfrac{KE^2}{KF^2}=\dfrac{GQ^2}{QC^2}\), luego \(\rm QC^2=LG^2+KF^2\). Y \(\rm LG=QE\), y \(\rm KF^2=\frac{1}{4}KN\cdot lado recto_{KN}=\frac{1}{4}diámetro conjugado^2\) [Prop. II.3], mientras que \(\rm \frac{1}{4}diámetro conjugado^2=CE\cdot ED\) [Prop. I.38], de donde \(\rm KF^2=CE\cdot ED\). Por tanto \(\rm QE^2+CE\cdot ED=QE^2+(CE+QE)(QD-QE)\)\(\rm =QE^2+(QC+QE)(QC-QE)= QE^2+QC^2-QE^2=QC^2\).

Así CD es dividida en dos partes iguales en el punto Q y en dos partes desiguales en el punto E.

Por tanto \(\rm CQ=QD\), y como DH es paralela a GQ, entonces CG=GH.

Q. E. D.