Si dos tangentes a hipérbolas opuestas se cortan y por un punto de ellas se traza una paralela a una de las tangentes y otra a la recta de contactos, el triángulo formado por estas dos paralelas y el diámetro difiere del separado a partir del punto de contacto en el separado según una tangente y el diámetro que pasa por el punto de contacto de esta.

Sean A y B hipérbolas opuestas Paso 1, de centro C Paso 2; con tangentes ED y DF cortándose en un punto D Paso 3; tracemos rectas de unión EF y CD y que CD sea prolongada Paso 4; tracemos rectas de unión FC y EC y prolonguémoslas Paso 5; tomemos un cierto punto G sobre la sección Paso 6; y, por este punto, tracemos paralelas HGKL y GM a EF y DF Paso 7. Digo que △MGH=△KHD+△KLF o △MGH=△KHD-△KLF.

Se tiene que CD es un diámetro de las hipérbolas opuestas como ha sido probado en [Prop. II.38 y Prop. II.39] y EF es una ordenada a él y GH es paralela a EF, mientras que MG es paralela a DF. En el caso de la primera figura, △MGH=△CLH +△CDF [Prop. I.45]. Ya que △CLH+△CDF=△KHD+△KFL, luego △MGH-△KHD=△KFL, de donde ⏢MGKD=△KFL. En el caso de la segunda figura, △CLH=△MGH +△CDF [Prop. I.44], de donde △CLH-⏢CLKD=△MGH +△CDF-⏢CLKD, esto es, △KHD=△MGH+△KFL. Además △KFL=△KHD-△MGH=⏢MGKD.

Q. E. D.