Dadas
las mismas cosas, los segmentos determinados por las secciones y las rectas de contacto serán entre sí como la transversal completa y el segmento exterior comprendido entre la sección y la paralela.
Sean A,B unas hipérbolas opuestas , de centro C y de tangentes AD y DB y tracemos rectas de unión AB y DCE ; por tanto AE=EB [Prop. II.39]. Tracemos, desde D, una paralela FDG a AB y, desde E, una recta cualquiera HEKL .
Digo que \(\rm\dfrac{HE}{EK}=\dfrac{HL}{LK}\).
Tracemos desde H y K paralelas NMHQ y KOP a AB , y HR y KS paralelas a AD y tracemos una recta QACT .
Ya que QAY y MAP son trazadas hasta unas paralelas QM y KP, \(\rm\dfrac{MA}{AP}=\dfrac{QA}{AY}\).
Pero HE=QA y EK=AY, luego \(\rm\dfrac{HE}{EK}=\dfrac{QA}{AY}\). Por otro lado, por la semejanza de los triángulos
HNE, KOE, \(\rm\dfrac{ON}{KO}=\dfrac{HE}{EK}\), luego \(\rm\dfrac{MA}{AP}=\dfrac{HN}{KO}\),
de donde \(\rm\dfrac{MA^2}{AP^2}=\dfrac{HN^2}{KO^2}\).
Pero \(\rm\dfrac{△HRN}{△KSO}=\dfrac{HN^2}{OK^2}\) y \(\rm\dfrac{△QMA}{△AYP}=\dfrac{MA^2}{AP^2}\), así también
\(\rm\dfrac{△QMA}{△AYP}=\dfrac{△HNR}{△KOS}\).
Ya que △HNR=△QMA+△MND, y △SOK=△AYP+△DOP [Prop. III.11], así también
\(\rm\dfrac{△QMA}{△PYA}=\dfrac{△QMA+ △MND}{△AYP+ △PDO}\).
Pero \(\rm\dfrac{△MND}{△PDO}=\dfrac{△QMA}{△PYA}\).
Ya que \(\rm\dfrac{QA^2}{AY^2}=\dfrac{△QMA}{△PYA}\) y
\(\rm\dfrac{MN^2}{PO^2}=\dfrac{△MND}{△PDO}\), entonces \(\rm\dfrac{QA^2}{AY^2}=\dfrac{MN^2}{PO^2}\),
de donde \(\rm\dfrac{QA}{AY}=\dfrac{MN}{PO}\).
Ya que, los triángulos MND, POD son semejantes, \(\rm\dfrac{ND}{OD}=\dfrac{MN}{PO}\) y como \(\rm\dfrac{HE}{EK}=\dfrac{QA}{AY}\), entonces \(\rm\dfrac{HE}{EK}=\dfrac{ND}{OD}\). Ya que, los triángulos HEN, LED son semejantes, \(\rm\dfrac{HE}{EL}=\dfrac{NE}{ED}\), de donde \(\rm\dfrac{HL}{EL}=\dfrac{HE+EL}{EL}=\dfrac{NE+ED}{ED}=\dfrac{ND}{ED}\), y ya que, los triángulos DEL, OEK son semejantes, \(\rm\dfrac{EL}{EK}=\dfrac{ED}{EO}\), de donde \(\rm\dfrac{EL}{LK}=\dfrac{EL}{EL-EK}=\dfrac{ED}{ED-EO}=\dfrac{ED}{OD}\). Por tanto \(\rm\dfrac{HL}{LK}=\dfrac{HL}{EL}\cdot \dfrac{EL}{LK}=\dfrac{ND}{ED}\cdot\dfrac{ED}{OD}=\dfrac{ND}{OD}\). Entonces \(\rm\dfrac{HL}{LK}=\dfrac{HE}{EK}\).
Q. E. D.