Si por los extremos de un diámetro de una hipérbola, una elipse, una circunferencia o las hipérbolas opuestas a una ordenada, las rectas desde los mismos extremos a un punto de la curva que corten a estas paralelas limitan un rectángulo equivalente a la figura aplicada al diámetro.

Sea ABC una de las secciones Paso 1 de diámetro AC Paso 2; tracemos paralelas AD y CE a una ordenada Paso 3 y tracemos rectas ABE y CBD Paso 4. Digo que \(\rm AC\cdot lado recto_{AC}=CE\cdot AD\).

Tracemos desde B una paralela BF a una ordenada Paso 5. Así \(\rm \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}=\dfrac{AF\cdot FC}{FB^2}\) [Prop. I.21]. Ya que \(\rm \dfrac{AC}{lado recto_{AC}}=\dfrac{AC^2}{AC\cdot lado recto_{AC}}\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{AC\cdot lado recto_{AC}}=\dfrac{AF\cdot FC}{FB^2}\). Pero \(\rm \dfrac{AF\cdot FC}{FB^2}=\dfrac{AF}{FB}\cdot \dfrac{FC}{FB}\), luego \(\rm \dfrac{AC^2}{AC\cdot lado recto_{AC}}=\dfrac{AF}{FB}\cdot \dfrac{FC}{FB}\). Pero, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{AC}{CE}=\dfrac{AF}{FB}\) y \(\rm \dfrac{AC}{AD}=\dfrac{FC}{FB}\), luego \(\rm \dfrac{AC\cdot lado recto_{AC}}{AC^2}=\dfrac{CE}{AC}\cdot \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{CE\cdot AD}{AC^2}\), de donde \(\rm AC\cdot lado recto_{AC}=CE\cdot AD\).

Q. E. D.