Dadas
las mismas cosas, si la recta trazada por el punto en cuestión no corta a la hipérbola ni es paralela a la asíntota, cortará a la sección opuesta; el segmento comprendido entre esta y la asíntota será al comprendido entre esta y la otra sección como la recta completa al segmento comprendido entre la sección y la paralela trazada por el punto de contacto.
Sean A y B unas hipérbolas opuestas , de centro C y de asíntotas DE y FG ; tomemos un punto G sobre FG, desde este punto tracemos una tangente GBE y una recta GH que no es paralela a CE y no corte a la sección en dos puntos . Se ha demostrado que la prolongación de HG corta a CD y, por esta razón, a la rama A y tracemos desde B una paralela KBL a CG .
Digo que \(\rm \dfrac{AG}{GH}=\dfrac{AK}{KH}\).
Tracemos desde A y B paralelas HM y AN a CG y desde B, G y H paralelas BQ, GP y RHSN a DE .
Ya que AD=GH [Prop. II.16], \(\rm \dfrac{DH}{GH}=\dfrac{DG+GH}{GH}=\dfrac{DG+AD}{GH}=\dfrac{AG}{GH}\).
Pero, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{NS}{SH}=\dfrac{AG}{GH}\) y \(\rm \dfrac{CS}{SG}=\dfrac{DH}{GH}\).
Y así \(\rm \dfrac{CS}{SG}=\dfrac{NS}{SH}\).
Pero \(\rm \dfrac{▱NSCO}{▱CSHM}=\dfrac{NS}{SH}\) y \(\rm \dfrac{▱RLCS}{▱RPGS}=\dfrac{CS}{SG}\), así también
\(\rm \dfrac{▱RLCS}{▱RPGS}=\dfrac{▱NSCO}{▱CSHM}\), de donde \(\rm \dfrac{▱NCSO+▱RLCS}{▱CSHM+▱RPGS}=\dfrac{▱NSCO}{▱CSHM}\),
luego \(\rm \dfrac{▱NRLO}{▱CSHM+▱RPGS}=\dfrac{▱NSCO}{▱CSHM}\).
Y ya que EB=BG [Prop. II.3], también LB=BP, y ▱LBQC=▱BPGQ.
Ya que \(\rm LB\cdot BQ=MH\cdot HS\) [Prop. II.12], esto es, ▱LBQC=▱CSHM, así también ▱BPGQ=▱CSHM.
Así \(\rm \dfrac{▱NRLO}{▱BPGQ+▱RPGS}=\dfrac{▱NRLO}{▱RSQB}=\dfrac{▱NSCO}{▱CSHM}\).
Ya que ▱CSHM=▱LBQC, entonces ▱CSHM-▱MCQT=▱LBQC-▱MCQT, luego ▱QSHT=▱MLBT, de donde ▱QSHT+▱BRHT=▱MLBT+▱BRHT.
Por tanto ▱RSQB=▱LRHM y así \(\rm \dfrac{▱NRLO}{▱LRHM}=\dfrac{▱NSCO}{▱CSHM}\).
Pero \(\rm \dfrac{NS}{SH}=\dfrac{AG}{GH}=\dfrac{▱NSCO}{▱CSHM}\) y análogamente \(\rm \dfrac{NR}{RH}=\dfrac{AK}{KH}=\dfrac{▱NRLO}{▱LRHM}\), luego
\(\rm \dfrac{AG}{GH}=\dfrac{AK}{KH}\).
Q. E. D.