Si por los puntos de contacto de dos tangentes a una sección cónica o a una circunferencia se trazan paralelas a las tangentes y transversales a un mismo punto de la curva que corten a las paralelas, la razón del rectángulo limitado por los segmentos producidos al cuadrado de la recta de contactos se compone de la del cuadrado del segmento interior de la recta que une el punto de intersección de las tangentes con el medio de la de contactos al cuadrado del otro segmento y la del rectángulo limitado por las tangentes a la cuarta parte del cuadrado de la recta de contactos.

Sea ABC una sección cónica o una circunferencia Paso 1, de tangentes AD y CD Paso 2; tracemos una recta de unión AC, que sea dividida en dos partes iguales en el punto E Paso 3; tracemos una recta de unión DBE Paso 4; tracemos desde A una paralela AF a CD Paso 5 y, desde C, una paralela CG a AD Paso 6; tomemos un punto H sobre la sección, tracemos rectas de unión AH y CH y prolonguémoslas hasta puntos G y F Paso 7. Digo que \(\rm \dfrac{AF\cdot CG}{AC^2}=\dfrac{EB^2}{BD^2}\cdot \dfrac{AD\cdot DC}{AE\cdot EC}\).

Tracemos, desde H, una paralela KHOQL a AC Paso 8, desde B, tracemos una paralela MBN a AC Paso 9, entonces MN es tangente [Prop. I.32]. Ya que AE=AC, también MB=BN, y KO=OL, y HO=OQ [Prop. II.7] y KH=QL. Ya que entonces MB y MA son tangentes y KHL ha sido trazada como paralela a MB, \(\rm\dfrac{AK^2}{QK\cdot KH}=\dfrac{AM^2}{BM^2}\) [Prop. III.16]. Como, BM=NB y QK=LH, así \(\rm\dfrac{AK^2}{LH\cdot KH}=\dfrac{AM^2}{NB\cdot BM}\). Y, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{AC}{AK}=\dfrac{NC}{AM}\), de donde \(\rm\dfrac{LC\cdot AK}{AK^2}=\dfrac{NC\cdot AM}{AM^2}\), luego \(\rm\dfrac{LC\cdot AK}{LH\cdot KH}=\dfrac{NC\cdot AM}{NB\cdot BM}\). Pero, debido a la semejanza de los triángulos HLC, CAF, \(\rm\dfrac{FA}{AC}=\dfrac{LC}{LH}\), y, por la semejanza de los triángulos GCA, AKH, \(\rm\dfrac{GC}{AC}=\dfrac{AK}{KA}\), de donde \(\rm\dfrac{FA}{AC}\cdot\dfrac{GC}{AC}=\dfrac{FA\cdot GC}{AC^2}=\dfrac{LC\cdot AK}{LH\cdot KH}\), luego \(\rm\dfrac{FA\cdot GC}{AC^2}=\dfrac{NC\cdot AM}{NB\cdot BM}\), esto es \(\rm\dfrac{FA\cdot GC}{AC^2}=\dfrac{NC\cdot AM}{ND\cdot DM}\cdot \dfrac{ND\cdot DM}{NB\cdot BM}\). Pero, \(\rm\dfrac{EB}{BD}=\dfrac{NC}{ND}=\dfrac{AM}{DM}\), de donde \(\rm\dfrac{EB^2}{BD^2}=\dfrac{NC}{ND}\cdot\dfrac{AM}{DM}=\dfrac{NC\cdot AM}{ND\cdot DM}\), mientras que \(\rm\dfrac{DC}{CE}=\dfrac{ND}{NB}\) y \(\rm\dfrac{DA}{AE}=\dfrac{DM}{BM}\), de donde \(\rm\dfrac{DC}{CE}\cdot\dfrac{DA}{AE}=\dfrac{ND}{NB}\cdot\dfrac{DM}{BM}\), luego \(\rm\dfrac{FA\cdot GC}{AC^2}=\dfrac{EB^2}{BD^2}\cdot\dfrac{DC\cdot DA}{CE\cdot AE}\).

Q. E. D.