Considerando, como diámetros recto y transverso de una elipse o de una circunferencia dos diámetros conjugados y trazándoles paralelas que se corten y corten a la curva la suma de los cuadrados de los segmentos de la paralela al diámetro transverso comprendidos entre el punto de intersección de las paralelas y la curva, aumentados en las figuras semejantes a la construida sobre el diámetro recto y semejantemente dispuestas construidas sobre la paralela al diámetro recto, equivale al cuadrado del transverso.

En efecto, sea ABCD Paso 1 una elipse o una circunferencia de centro E Paso 2; consideremos dos diámetros conjugados; el recto AEC Paso 3 y el transverso BED Paso 4 y tracemos las rectas NFGH y KFLM, paralelas a AC y BC Paso 5. Digo que \(\rm NF^2+FH^2+\dfrac{BD^2}{AC^2}(FK^2+FM^2)=BD^2\).

Tracemos por N una paralela NQ a AE Paso 6, que será una ordenada sobre BD y BP el lado recto relativo a BD Paso 7. Entonces, ya que \(\rm AC^2=BD\cdot BP\), entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{BD^2}=\dfrac{BP}{BD}\). Ya que \(\rm BD^2=AC\cdot lado recto_{AC}\) [Prop. I.15], entonces \(\rm \dfrac{AC^2}{AC\cdot lado recto_{AC}}=\dfrac{BP}{BD}\). Se tiene \(\rm \dfrac{AC^2}{AC\cdot lado recto_{AC}}=\dfrac{NQ^2}{\dfrac{BD^2}{AC^2}NQ^2}\) [Euclides:Prop. VI.22]. Así \(\rm \dfrac{BP}{BD}=\dfrac{NQ^2}{\dfrac{BD^2}{AC^2}NQ^2}\). También \(\rm \dfrac{NQ^2}{BQ\cdot QD}=\dfrac{BP}{BD}\) [Prop. I.21], de donde \(\rm \dfrac{NQ^2}{NQ^2\dfrac{BD^2}{AC^2}}=\dfrac{NQ^2}{BQ\cdot QD}\), luego \(\rm \dfrac{BD^2}{AC^2}NQ^2=\dfrac{BD^2}{AC^2}FL^2=BQ\cdot QD\).

Análogamente se demostraría que \(\rm \dfrac{BD^2}{AC^2}KL^2=BL\cdot LD\).

Por estar la recta NH dividida en dos partes iguales por el punto G y en dos partes desiguales por el F, \(\rm HF^2+FN^2=(HG+GF)^2+(HG-GF)^2=2(HG^2+GF^2)\)\(\rm =2(NG^2+GF^2)\) [Euclides:Prop. II.9] y análogamente. \(\rm MF^2+FK^2=(ML+LF)^2+(ML-LF)^2=2(ML^2+LF^2)\)\(\rm =2(KL^2+LF^2)\).

Por tanto \(\rm \dfrac{BD^2}{AC^2}MF^2+\dfrac{BD^2}{AC^2}FK^2=2(\dfrac{BD^2}{AC^2}KL^2+\dfrac{BD^2}{AC^2}LF^2)\)\(\rm =2(BQ\cdot QD+BL\cdot LD)\). Por otra parte \(\rm HF^2+FN^2=2(NG^2+GF^2)=2(QE^2+EL^2)\); luego \(\rm HF^2+FN^2+\dfrac{BD^2}{AC^2}MF^2+\dfrac{BD^2}{AC^2}FK^2\)\(\rm =2(BQ\cdot QD+BL\cdot LD+QE^2+EL^2)\).

Puesto que BD está dividida en partes iguales en el punto E y desiguales por el punto Q, \(\rm QB\cdot QD+QE^2=(BE-QE)(BE+QE)+QE^2\)\(\rm =BE^2-QE^2+QE^2=BE^2\) [Euclides:Prop. II.5]. Análogamente \(\rm LB\cdot LD+LE^2=(BE-EL)(BE+EL)+EL^2\)\(\rm =BE^2-EL^2+EL^2=BE^2\), y, por tanto, \(\rm QB\cdot QD+QE^2+LB\cdot LD+EL^2=2BE^2\), luego \(\rm NF^2+\dfrac{BD^2}{AC^2}FK^2+FH^2+\dfrac{BD^2}{AC^2}FM^2=4BE^2\) y como BD=2BE, finalmente, \(\rm NF^2+FH^2+\dfrac{BD^2}{AC^2}(FK^2+FM^2)=BD^2\).

Q. E. D.