Dadas las mismas cosas, si tomamos un cierto punto en una u otra de las dos secciones, y, desde ese punto, trazamos paralelas a las tangentes hasta los diámetros, el triángulo obtenido en el centro difiere del triángulo alrededor del mismo ángulo, del triángulo con la tangente como base y el centro como vértice.

Todas las cosas igual que antes Paso 1, tomemos un cierto punto Q sobre la sección B y, que por este punto, tracemos una paralela QRS a AG Paso 2 y una paralela QJO a BE Paso 3. Digo que △OHJ=△QSJ+△HBF.

Tracemos desde A una paralela AI a BF Paso 4, ya que por las mismas razones anteriores LHM es un diámetro de la hipérbola AL Paso 5, y DHB es un segundo diámetro conjugado a él [Prop. II.20] y AG es tangente en A, y AI ha sido trazada paralela a LM, así \(\rm\dfrac{AI}{IG}=\dfrac{HI}{AI}\cdot\dfrac{LM}{lado recto_{LM}}\) [Prop. I.40].

Ya que, los triángulos JIQ, IHA son semejantes, entonces \(\rm\dfrac{QJ}{JS}=\dfrac{AI}{IG}\), y por la semejanza de los triángulos HJO, HBF, HIA se tiene que \(\rm\dfrac{HJ}{JO}=\dfrac{HB}{BF}=\dfrac{HI}{IA}\).

Ya que BD, LM son diámetros conjugados, \(\rm BD\cdot lado recto_{BD}=LM^2\) y \(\rm LM\cdot lado recto_{LM}=BD^2\) [Prop. I.40], luego \(\rm\dfrac{BD\cdot lado recto_{BD}}{BD^2}=\dfrac{LM^2}{LM\cdot lado recto_{LM}}\), esto es, \(\rm\dfrac{lado recto_{BD}}{BD}=\dfrac{LM}{lado recto_{LM}}\). Por tanto, \(\rm\dfrac{QJ}{JS}=\dfrac{HJ}{JO}\cdot \dfrac{lado recto_{BD}}{BD}\) y △JHO=△QJS+△BFH [Prop. I.41].

Por otra parte, △BFH=△AGH [Prop. III.13], de donde △JHO=△QJS+△AGH.

Q. E. D.