Si por los puntos de contacto de dos tangentes a una cónica o una circunferencia, que se cortan, se trazan diámetros que encuentren a las tangentes, los triángulos obtenidos, opuestos por el vértice, son iguales.

Sea AB una sección cónica o una circunferencia Paso 1 y las tangentes AC y BD que se corten en el punto E Paso 2.

Tracemos por los puntos A y B los diámetros AD y BC que encuentran a las tangentes en los puntos D y C, respectivamente Paso 3.

Digo que △ADE = △EBC.

Tracemos desde A una paralela AF a BD Paso 4, que será una ordenada [Prop. I.32].

Entonces en el caso de la parábola, \(\rm ▱ADBF = △ACF\) [Prop. I.42], de manera que \(\rm ▱ADBF - ⏢AEBF= △ACF-⏢AEBF\), esto es, \(\rm △ADE = △CBE\).

En el caso de las otras secciones, los diámetros se encuentran en el centro G, y por haberse trazado la ordenada AF y ser tangente AC, \(\rm GF\cdot GC =GB^2\) [Prop. I.37], y, por tanto, \(\rm\dfrac{GB}{GC}=\dfrac{GF}{GB}\) y \(\rm\dfrac{FG^2}{BG^2}=\dfrac{BG\cdot FG}{GC\cdot BG}=\dfrac{FG}{GC}\). Ya que \(\rm\dfrac{△AGF}{△DGB}=\dfrac{FG^2}{BG^2}\) [Euclides:Prop. VI.19]. Además \(\rm\dfrac{△AGF}{△AGC}=\dfrac{FG}{GC}\) [Euclides:Prop. VI.1], de donde \(\rm\dfrac{△AGF}{△DGB}=\dfrac{△AGF}{△AGC}\), y, por tanto, △AGC = △DGB, y \(\rm \pm △AGC\mp⏢DGCE = \pm △ DGB\mp⏢DGCE\), esto es, △AED = △CBE.

Q. E. D.