Si rectas tangentes a una de las dos hipérbolas opuestas conjugadas se encuentran, y, por los puntos de contacto, trazamos diámetros, y tomamos un cierto punto sobre una u otra de las dos secciones conjugadas, y, desde este punto, trazamos paralelas a las tangentes hasta los diámetros, el triángulo obtenido según estas rectas y aplicado a la sección será más grande que el triangulo obtenido en el centro, del triángulo con una base que es la tangente y u vértice que es el centro de las secciones conjugadas.

Sean hipérbolas opuestas conjugadas AB, GS, J y Q Paso 1, de centro H Paso 2, con tangentes ADE y BDC tangentes a la sección AB Paso 3; tracemos por los puntos de contacto A y B diámetros AHFU y BHJ Paso 4; tomemos sobre la sección GS un cierto punto S, y tracemos por este punto, una paralela SFL a BC Paso 5 y una paralela ST a AE Paso 6. Digo que △SLT=△HLF+△HCB.

Tracemos desde H una paralela QHG a BC Paso 7, y desde G una paralela KIG a AE Paso 8, y SO una paralela a BJ Paso 9, entonces es evidente que QG es un diámetro conjugado a BJ [Prop. II.20], y que SO es paralela a BJ trazada como ordenada a HGO, y que ▱SLHO es un paralelogramo.

Ya que BC es tangente, y BH pasa por el punto de contacto, y AE es otra tangente, si tomamos \(\rm\dfrac{MN}{2BC}=\dfrac{DB}{BE}\), entonces MN es el denominado lado recto correspondiente al diámetro transverso BJ de la hipérbola de dos ramas AB,JU [Prop. I.50] Paso 10. Sea MN bisecada en P, así \(\rm\dfrac{MP}{BC}=\dfrac{DB}{BE}\) Paso 11.

Por otra parte, hagamos que \(\rm\dfrac{JB}{R}=\dfrac{QG}{JB}\), entonces \(\rm JB^2=QG\cdot R\), luego R es el denominado lado recto correspondiente al diámetro transverso QG de la hipérbola de dos ramas Q,GS [Prop. I.16 y Prop. I.60] Paso 12.

Ya que MN=2MP, entonces \(\rm\dfrac{MP}{BC}=\dfrac{DB}{BE}\), como \(\rm \dfrac{MP}{BC}=\dfrac{MP\cdot BH}{CB\cdot BH}\) y \(\rm \dfrac{DB}{BE}=\dfrac{DB^2}{DB\cdot BE}\), así \(\rm\dfrac{MP\cdot BH}{BC\cdot BH}=\dfrac{DB^2}{DB\cdot BE}\). Ya que \(\rm HG^2=BJ\cdot MN\) [Prop. I.60], \(\rm BH=\frac{1}{2}JB\) y \(\rm HG=\frac{1}{2}QG\) [Prop. I.30], entonces \(\rm MP\cdot BH=\frac{1}{2}JB\cdot\frac{1}{2}MN=\frac{1}{4}JB\cdot MN=\frac{1}{4}QG^2=GH^2\). Por tanto \(\rm\dfrac{GH^2}{BC\cdot BH}=\dfrac{DB^2}{DB\cdot BE}\) y correspondientemente \(\rm\dfrac{DB\cdot BE}{BC\cdot BH}=\dfrac{DB^2}{GH^2}\). Pero, los triángulos DBE, GHI son semejantes, luego \(\rm\dfrac{△DBE}{△GHI}=\dfrac{DB^2}{GH^2}\), y además \(\rm\dfrac{△DBE}{△CBH}=\dfrac{DB}{BC}\cdot \dfrac{BE}{BH}=\dfrac{DB\cdot BE}{BC\cdot BH}\), así \(\rm\dfrac{△DBE}{△CBH}=\dfrac{△DBE}{△GHI}\).

Así △CBH=△GHI.

Ahora ya que \(\rm \dfrac{HB}{BC}=\dfrac{HB}{MP}\cdot\dfrac{MP}{BC}\), pero \(\rm \dfrac{HB}{MP}=\dfrac{2HB}{2MP}=\dfrac{JB}{MN}\), y ya que JB,QG son diámetros conjugados y MN y R son sus respectivos lados rectos, entonces \(\rm JB^2=QG\cdot R\) y \(\rm QG^2=JB\cdot MN\) [Prop. I.60], entonces \(\rm \dfrac{JB^2}{JB\cdot MN}=\dfrac{QG\cdot R}{QG^2}\), esto es, \(\rm \dfrac{JB}{MN}=\dfrac{R}{QG}\), luego \(\rm \dfrac{HB}{MP}=\dfrac{R}{QG}\).

Por otra parte, \(\rm \dfrac{MN}{2BC}=\dfrac{DB}{BE}\), de donde \(\rm \dfrac{MP}{BC}=\dfrac{DB}{BE}\). Así \(\rm \dfrac{HB}{BC}=\dfrac{DB}{BE}\cdot\dfrac{R}{QG}\). Ya que, por la semejanza de los triángulos HCB, HLF, \(\rm \dfrac{HL}{LF}=\dfrac{HB}{BC}\), entonces \(\rm \dfrac{HL}{LF}=\dfrac{DB}{BE}\cdot \dfrac{R}{QG}\). Ya que, por la semejanza de los triángulos DBE, IHG, \(\rm \dfrac{DB}{BE}=\dfrac{HG}{HI}\), entonces \(\rm \dfrac{HL}{LF}=\dfrac{HG}{HI}\cdot \dfrac{R}{QG}\).

La hipérbola GS tiene a QG como diámetro transverso y a R como lado recto, y desde un punto S se ha trazado de manera ordenada la recta SO y la recta SL paralela e igual a HO. Ya que ST es paralela a DE, el triángulo SLT es semejante al triángulo HIG, que es igual al triángulo HCB. Así △SLT=△HLF+△HCB [Prop. I.41].

Q. E. D.