Si dos tangentes a las hipérbolas opuestas conjugadas se cortan en una sección cualquiera y se trazan paralelas a las tangentes que se corten y corten a las otras hipérbolas opuestas, el rectángulo de las rectas comprendidas entre las secciones y el punto de intersección de las rectas será al de las rectas tomadas del mismo modo como los cuadrados de las tangentes.

Sean hipérbolas opuestas conjugadas AB, CD, EF y GH Paso 1, de centro K Paso 2; tangentes ACUL y EXDL a las secciones AB y EF que se encuentran en un punto L Paso 3; tracemos rectas de unión AK y EK y prolonguémoslas hasta unos puntos B y F Paso 4; y tracemos, desde G, una paralela GMNQO a AL Paso 5y, desde H, una paralela HPRQS a EL Paso 6. Digo que \(\rm \dfrac{HQ\cdot QS}{GQ\cdot QO}=\dfrac{EL^2}{LA^2}\).

Tracemos desde S una paralela ST a AL Paso 7, y desde O una paralela OY a EL Paso 8. Ya que BE es un diámetro de las hipérbolas opuestas conjugadas AB, CD, EF y GH, y EL es tangente a la sección, y HS ha sido trazada paralela a ella [Prop. II.20 y Def. 5] HP=PS, y por las mismas razones GM=MO. Ya que, por semejanza de triángulos, \(\rm \dfrac{PS^2}{△PTS}=\dfrac{PQ^2}{△PNQ}=\dfrac{EL^2}{△EUL}\), de donde \(\rm \dfrac{PS^2-PQ^2}{△PTS-△PNQ}=\dfrac{EL^2}{△EUL}\), luego \(\rm \dfrac{(PS+PQ)(PS-PQ)}{⏢TNQS}=\dfrac{(PH+PQ)(PS-PQ)}{⏢TNQS}=\dfrac{HQ\cdot QS}{⏢TNQS}\)\(\rm =\dfrac{EL^2}{△EUL}\). Pero △EUL=△ALX [Prop. III.4], y △PST = △PRK+ △AUK [Prop. III.15], de donde △PST- △PRK = △AUK, esto es, ⏢TSRK = △AUK. Por tanto ⏢YONK = △EXK. Pero, △AUK = △EXK [Prop. III.4], luego ⏢TSRK = ⏢YONK, de donde ⏢TSRK- ⏢NKRQ= ⏢YONK- ⏢NKRQ, esto es, ⏢TNQS=⏢QRYO. Entonces, \(\rm \dfrac{HQ\cdot QS}{⏢QRYO}=\dfrac{EL^2}{△ALX}\). Análogamente, \(\rm \dfrac{GQ\cdot QO}{⏢QRYO}=\dfrac{AL^2}{△ALX}\). Por tanto \(\rm \dfrac{HQ\cdot QS}{GQ\cdot QO}=\dfrac{EL^2}{AL^2}\).

Q. E. D.