Considerando como diámetros recto y transverso de las hipérbolas opuestas conjugadas dos diámetros conjugados y trazándoles paralelas que se corten y corten a las secciones, la razón de la suma de los cuadrados de los segmentos de la paralela al diámetro transverso comprendidos entre dicho punto de intersección y la curva, es la misma uue la de los cuadrados de los diámetros recto y transverso.

Sean hipérbolas opuestas conjugadas A,B,C,D Paso 1, de diámetro recto AEC Paso 2 y diámetro transverso BED Paso 3; tracemos paralelas FGHK Paso 4 y LGMN Paso 5 a estos diámetros, cortándose entre ellos y cortando a las secciones. Digo que \(\rm \dfrac{NG^2+GL^2}{FG^2+GK^2}=\dfrac{AC^2}{BD^2}\).

Tracemos LQ y FO desde F y L como ordenadas Paso 6, así son paralelas a AC y BD. Y desde B tracemos el lado recto BP correspondiente a BD Paso 7, entonces \(\rm AC^2=PB\cdot BD\), de donde \(\rm \dfrac{AC^2}{BD^2}=\dfrac{PB}{BD}\). Ya que \(\rm \dfrac{FO^2}{BO\cdot OL}=\dfrac{PB}{BD}\) y \(\rm \dfrac{LQ^2}{CQ\cdot QA}=\dfrac{lado recto_{AC}}{AC}\) [Prop. I.21], y como \(\rm \dfrac{PB}{BD}=\dfrac{AC}{lado recto_{AC}}\) [Prop. I.60], entonces \(\rm\dfrac{CQ\cdot QA}{LQ^2}=\dfrac{PB}{BD}\). Entonces \(\rm\dfrac{CQ\cdot QA}{LQ^2}=\dfrac{FO^2}{BO\cdot OL}=\dfrac{AC^2}{BD^2}=\dfrac{AE^2}{EB^2}=\dfrac{PB}{BD}\), de donde \(\rm\dfrac{CQ\cdot QA+AE^2+FO^2}{BO\cdot OL+EB^2+LQ^2}=\dfrac{AC^2}{BD^2}\). Por tanto \(\rm\dfrac{CQ\cdot QA+AE^2+EH^2}{BO\cdot OL+EB^2+ME^2}=\dfrac{AC^2}{BD^2}\), de donde \(\rm\dfrac{(QE+AE)(QE-AE)+AE^2+FO^2}{(OE+EB)(OE-EB)+EB^2+LQ^2}=\dfrac{QE^2-AE^2+AE^2+EH^2}{OE^2-EB^2+EB^2+ME^2}\)\(\rm =\dfrac{QE^2+EH^2}{OE^2+ME^2}=\dfrac{AC^2}{BD^2}\), luego \(\rm\dfrac{LM^2+MG^2}{FH^2+HG^2}=\dfrac{AC^2}{BD^2}\). Ya que, \(\rm NG^2+GL^2=(LM+MG)^2+(LM-MG)^2=2(LM^2+MG^2)\) y \(\rm FG^2+GK^2=(FH-HG)^2+(FH+HG)^2=2(FH^2+HG^2)\), luego \(\rm \dfrac{NG^2+GL^2}{FG^2+GK^2}=\dfrac{AC^2}{BD^2}\).

Q. E. D.