Si en unas hipérbolas opuestas conjugadas, se cortan rectas tangentes a las secciones adyacentes, y, por los puntos de contacto, se trazan diámetros, los triángulos con vértice común el centro de las opuestas serán iguales.

Sean hipérbolas opuestas conjugadas con puntos marcados A, B, C y D Paso 1; tracemos tangentes BE y AE a las secciones A y B que se corten en un punto E Paso 2; sea H un centro Paso 3; tracemos rectas de unión AH y BH y prolonguémoslas hasta puntos D y C Paso 4. Digo que △AGH=△BFH.

Tracemos desde A y H paralelas AK y LHM a BE Paso 5. Ya que BFE es tangente a la hipérbola B, y DHB es un diámetro que pasa por el punto de contacto, y LM es paralela a BE, LM un diámetro conjugado al diámetro BD, denominado segundo diámetro [Prop. II.20], y así AK es una ordenada a BD. Y AG es tangente, así \(\rm KH\cdot HG=BH^2\) [Prop. I.38].

Así \(\rm\dfrac{BH}{HG}=\dfrac{KH}{BH}\). Pero, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{AH}{HF}=\dfrac{KH}{HB}\), luego \(\rm\dfrac{BH}{HG}=\dfrac{AH}{HF}\).

Por otra parte, ya que los ángulos \(\widehat{\rm BHF}\) y \(\widehat{\rm GHF}\) son suplementarios, \(\rm\dfrac{△AHG}{△BHF}=\dfrac{AH\cdot HG}{BH\cdot HG}\). Ya que \(\rm AH\cdot HG=BH\cdot HF\), entonces △AGH=△BHF.

Q. E. D.