Si
por el punto de intersección de dos tangentes a las hipérbolas opuestas se traza una recta que corte a la de contactos y a la secciones, los segmentos determinados por estas y dicho punto de intersección serán entre sí como la transversal completa al segmento exterior comprendido entre la sección y la recta de contactos.
Sean A y B unas hipérbolas opuestas , de centro C y de tangentes AD y DB ; tracemos rectas de unión AB y CD y prolonguémoslas y, desde D, tracemos una cierta recta EDFG .
Digo que \(\rm\dfrac{ED}{DF}=\dfrac{EG}{GF}\).
\(\rm\dfrac{}{}=\dfrac{}{}\)
Tracemos una recta de unión AC y prolonguémosla , y desde E y F tracemos paralelas EHS y FLMNQO a AB , y paralelas EP y FR a AD .
Ya que FQ y ES son paralelas, y EF, QS y HM han sido trazadas entre ellas, \(\rm\dfrac{FM}{EH}=\dfrac{ND}{DH}=\dfrac{QM}{HS}\), de donde \(\rm\dfrac{HS}{QM}=\dfrac{EH}{FM}\) y \(\rm\dfrac{HS^2}{QM^2}=\dfrac{EH^2}{FM^2}\).
Pero \(\rm\dfrac{△EHP}{△FRM}=\dfrac{EH^2}{FM^2}\) y \(\rm\dfrac{△DHS}{△QMD}=\dfrac{HF^2}{QM^2}\), luego \(\rm\dfrac{△DHS}{△QMD}=\rm\dfrac{△EHP}{△FRM}\).
Ya que △EHP=△ASK+△DHS, y △RMF=△AQN+△QMD [Prop. III.11],
así \(\rm\dfrac{△ASK+ △DHS}{△AQN+ △QMD}=\dfrac{△DHS}{△QMD}\), de donde \(\rm\dfrac{△ASK}{△AQN}=\dfrac{△DHS}{△QMD}\).
Pero \(\rm\dfrac{KA^2}{AN^2}=\dfrac{△ASK}{△AQN}\), y \(\rm\dfrac{HD^2}{DM^2}=\dfrac{△DHS}{△QMD}\), luego
\(\rm\dfrac{HD^2}{DM^2}=\dfrac{KA^2}{AN^2}\) y por tanto \(\rm\dfrac{HD}{DM}=\dfrac{KA}{AN}\).
Ya que, por la semejanza de los triángulos EDH, MDF, \(\rm\dfrac{HD}{DM}=\dfrac{ED}{DF}\), entonces
\(\rm\dfrac{KA}{AN}=\dfrac{ED}{DF}\).
Ya que, por semejanza de los triángulos ATG, ETK, \(\rm \dfrac{TK}{AT}=\dfrac{TE}{TG}\), de donde
\(\rm \dfrac{KA}{AT}=\dfrac{TK+AT}{AT}=\dfrac{TE+TG}{TG}=\dfrac{EG}{TG}\), y por la semejanza de los triángulos
ATG, NTF, \(\rm \dfrac{AT}{TN}=\dfrac{TG}{TF}\), de donde \(\rm \dfrac{AT}{AN}=\dfrac{AT}{AT-TN}=\dfrac{TG}{TG-TF}=\dfrac{TG}{GF}\), de donde \(\rm \dfrac{KA}{AN}=\dfrac{KA}{AT}\cdot\dfrac{AT}{AN}=\dfrac{EG}{TG}\cdot\dfrac{TG}{GF}=\dfrac{EG}{GF}\). Por tanto \(\rm\dfrac{ED}{DF}=\dfrac{EG}{GF}\).
Q. E. D.