Si dos tangentes a una sección cónica o a una circunferencia se cortan y por dos puntos de la sección se trazan paralelas a las tangentes que se corten entre sí y corten a la línea los rectángulos limitados por las rectas tomadas del mismo modo son entre sí como los cuadrados de las tangentes.

Sea una sección cónica o una circunferencia AB Paso 1; con tangentes AC y CB a AB, cortándose en un punto C Paso 2; tomemos sobre la sección puntos cualesquiera D y E Paso 3 y, por estos puntos, tracemos paralelas EFIK y DFGH a las rectas AC y CB Paso 4. Digo que \(\rm \dfrac{KF\cdot FE}{HF\cdot FD}=\dfrac{AC^2}{CB^2}\).

Tracemos por A y B los diámetros ALMN Paso 5 y BOQP Paso 6, y prolonguemos las tangentes y paralelas hasta los diámetros, y tracemos desde D y E paralelas DQ y EM a las tangentes Paso 7, entonces es evidente KI=IE, HG=GD [Prop. I.46 y Prop. I.47]. Ya que KE es cortado en dos partes iguales en I, y en dos partes desiguales en F, KF∙FE+FI²=EI² [Euclides:Prop. II.5].

Ya que los triángulos LFI, MEI son semejantes por paralelismo, \(\rm\dfrac{IF^2}{△FIL}=\dfrac{EI^2}{△IME}\), de donde \(\rm\dfrac{EI^2-IF^2}{△IME-△FIL}=\dfrac{EI^2}{△IME}\), luego \(\rm KF\cdot FE=EI^2-IF^2\) y por tanto \(\rm\dfrac{KF\cdot FE}{⏢FEML}=\dfrac{EI^2}{△IME}\). Pero, por la semejanza de los triángulos MEI, NCA, \(\rm\dfrac{CA^2}{△CAN}=\dfrac{EI^2}{△IME}\), así \(\rm\dfrac{CA^2}{△CAN}=\dfrac{KF\cdot FE}{⏢FEML}\). Pero △CAN=△CPB [Prop. III.1] y ⏢FEML=⏢FLQO [Prop. III.3], luego \(\rm\dfrac{CA^2}{△CPB}=\dfrac{KF\cdot FE}{⏢FLQO}\). Análogamente, \(\rm\dfrac{CB^2}{△CPB}=\dfrac{HF\cdot FD}{⏢FLQO}\), luego \(\rm\dfrac{KF\cdot FE}{HF\cdot FD}=\dfrac{CA^2}{CB^2}\).

Q. E. D.