Si en una hipérbola, elipse, circunferencia o hipérbolas opuestas se levantan perpendiculares en los extremos del eje, se aplica a uno y otro lado un rectángulo equivalente a la figura, aumentado en un cuadrado en la hipérbola y en las hipérbolas opuestas y disminuido en la elipse, y se traza una tangente a la sección que corte a las perpendiculares, las rectas que unen los puntos de contacto con los procedentes de la aplicación son perpendiculares en los puntos de que acabamos de hablar.

Sea una de las secciones en cuestión, de eje AB Paso 1; tracemos rectas perpendiculares AC y BD Paso 2 así como una tangente CED Paso 3; verificando que \(\rm AF\cdot FB=AG\cdot GB=\frac{1}{4}AB\cdot lado recto_{AB}\) [esto es, G y F son los focos] Paso 4 y sean trazadas rectas de unión CF, CG, DF y DG Paso 5. Digo que \(\widehat{\rm CFD}\) y \(\widehat{\rm CGD}\) son rectos.

Ya que \(\rm AC\cdot BD=\frac{1}{4}AB\cdot lado recto_{AB}\) [Prop. III.42], y ya que, por hipótesis, \(\rm AF\cdot FB=\frac{1}{4}AB\cdot lado recto_{AB}\), entonces AC∙BD=AF∙FB. Así \(\rm\dfrac{FB}{BD}=\dfrac{AC}{AF}\). Ya que los triángulos rectángulos FBD, CAF son semejantes entonces \(\widehat{\rm ACF}=\widehat{\rm BFD}\), y \(\widehat{\rm AFC}=\widehat{\rm FDB}\). Y ya que \(\widehat{\rm ACF}+\widehat{\rm AFC}\) es recto, entonces \(\widehat{\rm BFD}+\widehat{\rm AFC}\) es recto, luego \(\widehat{\rm DFC}\) es recto. Y análogamente \(\widehat{\rm CGD}\) es recto.

Q. E. D.