Si por el punto de intersección de dos tangentes a las hipérbolas opuestas se traza una paralela a la recta de contactos y por estas paralelas a las tangentes, y las rectas desde los puntos de contacto a un mismo punto de una de las secciones cortan a las paralelas, la razón del rectángulo limitado por las rectas separadas al cuadrado de la de contactos es la misma que la del limitado por las tangentes al cuadrado de la paralela por el punto de intersección a la recta de contactos hasta la sección.

Sean ABC y DEF hipérbolas opuestas Paso 1 y AG y GD las tangentes a ellas Paso 2, y sea AD la recta de unión Paso 3 y desde G tracemos la paralela CGE a AD Paso 4, y tracemos desde A la paralela AM a DG Paso 5 y desde D la paralela DM a AG Paso 6 y tomemos un punto F sobre la hipérbola DF y unamos ANF y FDH Paso 7. Digo que \(\rm\dfrac{AD^2}{AH\cdot ND}=\dfrac{CG^2}{AG\cdot GD}\).

Tracemos por F una paralela FLKB a AD Paso 8. Entonces, ya que \(\rm\dfrac{BL\cdot LF}{DL^2}=\dfrac{EG^2}{GD^2}\) [Prop. III.20], y CG=EG y BL=KF [Prop. II.38], así \(\rm\dfrac{KF\cdot LF}{DL^2}=\dfrac{CG^2}{GD^2}\). Y, por semejanza de triángulos, \(\rm\dfrac{DL}{AK}=\dfrac{GD}{GA}\), de donde \(\rm\dfrac{DL^2}{DL\cdot AK}=\dfrac{GD^2}{GD\cdot GA}\), luego \(\rm\dfrac{KF\cdot LF}{DL\cdot AK}=\dfrac{GD^2}{GD\cdot GA}\) y por tanto \(\rm\dfrac{KF\cdot LF}{DL\cdot AK}=\dfrac{CG^2}{GD\cdot GA}\). Pero \(\rm\dfrac{AD}{DN}=\dfrac{KF}{AK}\) y \(\rm\dfrac{AD}{HA}=\dfrac{DF}{DL}\), de donde \(\rm\dfrac{AD}{DN}\cdot\dfrac{AD}{HA}=\dfrac{KF}{AK}\cdot\dfrac{LF}{DL}\), luego \(\rm\dfrac{AD^2}{DN\cdot HA}=\dfrac{KF\cdot LF}{AK\cdot DL}\) y así \(\rm\dfrac{AD^2}{DN\cdot HA}=\dfrac{CG^2}{GD\cdot GA}\).

Q. E. D.