Si se toman como diámetros transverso y recto dos rectas trazadas desde el centro de las hipérbolas opuestas conjugadas y se trazan a estos diámetros paralelas que se corten y corten a las secciones y cuyo punto de intersección esté en la región situada entre las cuatro secciones, el rectángulo limitado por los segmentos de la paralela al diámetro transverso aumentado en un área con la cual el rectángulo limitado por los segmentos de la paralela al diámetro recto tiene la misma razón que el cuadrado del diámetro recto al del transverso, será equivalente al doble del cuadrado de la mitad del diámetro transverso.

Sean hipérbolas opuestas conjugadas A,B,C,D Paso 1, de centro E Paso 2; tracemos, desde E, el diámetro transverso AEC Paso 3 y el diámetro recto DEB Paso 4; tracemos paralelas FGQIKL y MNQOPR a AC y BD, que se cortan en un punto Q Paso 5.

Supongamos, en primer lugar, que Q esté en el interior del ángulo \(\widehat{\rm SEU}\) o del ángulo \(\widehat{\rm YET}\). Digo que \(\rm FQ\cdot QL + \dfrac{AC^2}{BD^2}(MQ\cdot QR)=2AE^2\).

Tracemos las asíntotas SET y YEU a las hipérbolas Paso 6, y desde A tracemos la tangente SGAU a la hipérbola Paso 7. Ya que DB, AC son diámetros conjugados, \(\rm DB^2=AC\cdot lado recto_{AC}\) [Prop. I.60], de donde \(\rm DE^2=\frac{1}{4}AC\cdot lado recto_{AC}\). Por otra parte, ya que SE, UE son las asíntotas, \(\rm SA^2=SA\cdot AU=\frac{1}{4}AC\cdot lado recto_{AC}\), luego \(\rm SA\cdot AU=DE^2\) [Prop. II.1], de donde \(\rm \dfrac{DE^2}{EA^2}=\dfrac{SA\cdot AU}{EA^2}=\dfrac{SA}{AE}\cdot \dfrac{UA}{AE}\).

Pero \(\rm \dfrac{NQ}{QH}=\dfrac{SA}{AE}\) y \(\rm \dfrac{PQ}{QE}=\dfrac{AU}{EA}\), así \(\rm \dfrac{DE^2}{EA^2}=\dfrac{NQ}{QH}\cdot\dfrac{PQ}{QK}=\dfrac{NQ\cdot PQ}{QH\cdot QK}\), de donde \(\rm \dfrac{DE^2+NQ\cdot PQ}{EA^2+QH\cdot QK}=\dfrac{DE^2}{EA^2}\).

Como, la recta RPNM corta a las asíntotas, entonces \(\rm DE^2=PM\cdot NM\) [Prop. II.11], y \(\rm PM\cdot NM=RN\cdot NM\) [Prop. II.16], luego \(\rm DE^2=RN\cdot NM\), y, \(\rm AE^2=KF\cdot FH=LH\cdot HF\). Entonces, \(\rm \dfrac{PQ\cdot QN+RN\cdot NM}{KQ\cdot QH+LH\cdot HF}=\dfrac{DE^2}{EA^2}\). Como, \(\rm PQ\cdot QN+RN\cdot NM=(PO+OQ)(NO-OQ)+(RO+NO)(OM-NO)\)\(\rm = (NO+OQ)(NO-OQ)+(RO+NO)(RO-NO)\)\(\rm =NO^2-OQ^2+RO^2-NO^2=RO^2-OQ^2=(RO+OQ)(RO-OQ)\) \(\rm =(RO+OQ)(MO-OQ)=RQ\cdot QM\), entonces \(\rm \dfrac{RQ\cdot QM}{KQ\cdot QH+LH\cdot HF}=\dfrac{DE^2}{EA^2}=\dfrac{DB^2}{AC^2}\). Por tanto, \(\rm KQ\cdot QH+LH\cdot HF = \dfrac{AC^2}{DB^2}(RQ\cdot QM)\).

Ya que \(\rm LK=FH\) y \(\rm KF\cdot FH=AE^2\) entonces \(\rm FQ\cdot QL+KQ\cdot QH=(FI-IQ)(LI+IQ)=(IQ+IH)(IQ-IH)\)\(\rm =(LI-IQ)(LI+IQ)(IQ+IH)(IQ-IH)\)\(\rm = LI^2-IQ^2+IQ^2-IH^2=LI^2-IH^2\)\(\rm =(LI+IH)(LI-IH)=(LI+IH)(FI-IH)= LH\cdot HF=KF \cdot FH \)\(\rm = AE^2\), de donde \(\rm FQ\cdot QL+KQ\cdot QH+LH\cdot HF=2AE^2\). Por tanto \(\rm KQ\cdot QH+KF\cdot FH=\dfrac{AE^2}{DE^2}(MQ\cdot RQ)\), luego \(\rm FQ\cdot QL+\dfrac{AC^2}{BD^2}(MQ\cdot RQ)=2AE^2\).

Supongamos ahora que FL y MR se cortan en un punto H situado en una de las asíntotas. Entonces \(\rm FH\cdot FK=AE^2\) [Prop. II.11] y \(\rm FH\cdot FK=FH\cdot HL\) [Prop. II.16], de donde \(\rm FH\cdot HL=AE^2\) y análogamente \(\rm MH\cdot HR=DE^2\), así \(\rm \dfrac{MH\cdot HR}{FH\cdot HL}=\dfrac{DE^2}{AE^2}=\dfrac{DB^2}{AC^2}\).

Por tanto \(\rm FH\cdot HL+\dfrac{AC^2}{DB^2}(MH\cdot HR)=FH\cdot HL+\dfrac{FH\cdot HL}{MH\cdot HR}(MH\cdot HR)\)\(\rm =2 FH\cdot HL=2 AE^2\).

Supongamos, finalmente, Q en el interior del ángulo \(\widehat{\rm SEK}\) o del ángulo \(\widehat{\rm UET}\). Entonces análogamente \(\rm \dfrac{PQ\cdot QN}{KQ\cdot QH}=\dfrac{DE^2}{EA^2}\). Ya que \(\rm PM\cdot NM=DE^2\) [Prop. II.11] y \(\rm PM\cdot NM=RN\cdot MN\) [Prop. II.16], entonces \(\rm RN\cdot NM=DE^2\). Así \(\rm \dfrac{PQ\cdot QN}{KQ\cdot QH}=\dfrac{RN\cdot NM}{AE^2}\), de donde \(\rm \dfrac{RN\cdot NM-AE^2}{LH\cdot HF-KQ\cdot QH}=\dfrac{RN\cdot NM}{AE^2}\). Como \(\rm RN\cdot NM-PQ\cdot QN=RQ\cdot QM\), entonces \(\rm \dfrac{RQ\cdot QM}{AE^2-KQ\cdot QH}=\dfrac{RN\cdot NM}{AE^2}=\dfrac{DE^2}{AE^2}=\dfrac{DB^2}{AC^2}\).

Por otra parte, \(\rm FQ\cdot QL-KQ\cdot QH=FH\cdot HL=AE^2\), de donde \(\rm FQ\cdot QL+AE^2-KQ\cdot QH=2AE^2 \) y \(\rm FQ\cdot QL+\dfrac{AC^2}{DB^2}(MQ\cdot QR)=2AE^2\).

Q. E. D.