Dadas las mismas cosas, si el punto de intersección cae fuera de la región situada entre las cuatro secciones, el rectángulo limitado por los segmentos de la paralela al diámetro transverso diferirá en más o en menos del doble del cuadrado de la mitad del diámetro transverso en el área con la cual el rectángulo limitado por los segmentos de la paralela al diámetro recto tiene la misma razón que los cuadrados de los diámetros recto y transverso, según que dicho punto de intersección sea interior a una de las secciones o de su conjugada.

Con las mismas hipótesis y, el punto de encuentro Q de las paralelas a AC y BD en el interior de una de las secciones D y B, como se ve en la figura. Digo que \(\rm OQ\cdot QN - \dfrac{AC^2}{BD^2}(RQ\cdot QM)=2 AE^2\).

Razonando como en la proposición anterior, se llega a \(\rm \dfrac{PQ\cdot QH}{SQ\cdot QL}=\dfrac{DE^2}{AE^2}\). Ya que \(\rm DE^2=PM\cdot MH\), y \(\rm EA^2= LO\cdot OS\) [Prop. II.11], así \(\rm \dfrac{DE^2}{EA^2}=\dfrac{PM\cdot MH}{LO\cdot OS}\), luego \(\rm \dfrac{PM\cdot MH}{LO\cdot OS}=\dfrac{PQ\cdot QH}{SQ\cdot QL}\). Como \(\rm EA^2=ST\cdot TL\) [Prop. II.22] y ya que \(\rm EA^2=LO\cdot OS\), entonces \(\rm ST\cdot TL=LO\cdot OS\). Entonces \(\rm \dfrac{PM\cdot MH}{ST\cdot TL}=\dfrac{PQ\cdot QH}{SQ\cdot QL}\), de donde \(\rm \dfrac{PQ\cdot QH-PM\cdot MH}{SQ\cdot QL-ST\cdot TL}=\dfrac{PQ\cdot QH}{SQ\cdot QL}=\dfrac{DE^2}{EA^2}\) Y ya que \(\rm MH=RP) [Prop. I.16], entonces \(\rm PQ\cdot HQ-PM\cdot MH=(QG+ GP)(QG-GP)-(RG+GH)(RG-GH)\)\(\rm =QG^2-GP^2-RG^2+GH^2=GH^2-RG^2\)\(\rm =(QG+RG)(QG-RG)=RQ\cdot QM\). Y análogamente, \(\rm SQ\cdot QL-ST\cdot TL= (SF-FQ)(SF+FQ)-(LF-FT)(LF+FT)\)\(\rm =SF^2-FQ^2-LF^2+FT^2=FT^2-FQ^2\)\(\rm =(FT-FQ)(FT+FQ)=TQ\cdot QK\). Por tanto, \(\rm \dfrac{RQ\cdot QM}{TQ\cdot QK}=\dfrac{DE^2}{EA^2}\), de donde \(\rm TQ\cdot QK=\dfrac{AE^2}{DE^2}(RQ\cdot QM)=\dfrac{AC^2}{DB^2}(RQ\cdot QM)\), luego queda demostrar que \(\rm OQ\cdot QN-TQ\cdot QK=2AE^2\).

Como \(\rm OQ\cdot QN-TQ\cdot QK=(OF-FQ)(OF+FQ)-(TF-FQ)(TF+FQ)\)\(\rm =OF^2-FQ^2-TF^2+FQ^2=OF^2-TF^2\)\(\rm =(OF-TF)(OF+TF)=OT\cdot TN\) y \(\rm OT\cdot TN=2AE^2\) [Prop. II.22], entonces \(\rm OQ\cdot QN=\dfrac{AC^2}{BD^2}(RQ\cdot QM)+2AE^2\).

Q. E. D.